Hypothèse de solutions dans les équations aux dérivées partielles

Le chat de Schrödinger

Hypothèse de solutions dans les équations aux dérivées partielles


Dans l’ introduction de Griffiths à l’électrodynamique , dans tous les problèmes concernant le calcul du potentiel dans les tuyaux et les plaques métalliques mis à la terre, tout en résolvant l’équation de Laplace , la solution a été supposée être un produit des fonctions de

X

et

y

. Il a été mis en évidence dans la figure ci-dessous. Griffiths lui-même a écrit que l’hypothèse est totalement absurde.

entrez la description de l'image ici

Ma question est:

Pourquoi faisons-nous une telle hypothèse qui ne nous donne qu’une solution spéciale ? Pourquoi n’opterions-nous pas pour une solution générale utilisant une procédure standard de résolution du pde? Y a-t-il une sorte d’avantage à utiliser ce type d’hypothèse?

knzhou

Parce que sinon, le problème est très difficile, car vous devez en fait résoudre une équation différentielle partielle. Quand il se sépare, nous obtenons simplement des équations différentielles ordinaires.

Le chat de Schrödinger

@knzhou Mais nous n’obtenons alors qu’un petit sous-ensemble de toutes les solutions possibles. N’est-ce pas quelque chose à craindre?

Michael Seifert

@ count_to_10: Pas seulement une solution générale, la solution générale. L’unicité est ici importante; comme le dit Griffiths lui-même (p. 120 de la 4e éd.), « Le théorème d’unicité est une licence pour votre imagination. Peu importe comment vous venez par votre solution; si (a) il satisfait l’équation de Laplace et (b) il a la bonne valeur aux limites, alors c’est vrai .  »

Omar Nagib

Vous devriez continuer à lire, car l’écrivain justifiera son hypothèse quelques pages plus tard. L’astuce est que, c’est un PDE linéaire, donc si vous avez deux solutions, leur sommation est également une solution. vous obtenez comme une solution particulière des sinus et des cosinus, lorsque vous les combinez ensemble, vous obtenez une série de Fourier qui vous permet d’exprimer la solution générale.

Réponses


 Gert

Pour les équations différentielles linéaires et partielles (équation d’onde, équation de chaleur de Fourier, équation de Schrödinger, équation de diffusion (deuxième loi de Fick), équation de diffusion convective et bien d’autres), la méthode de séparation des variables semble toujours fonctionner (et peut être adaptée même pour les équations avec les termes sources, c’est-à-dire les EDP non homogènes).

Si une fonction

u ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n )

est recherché alors l’Ansatz est une fonction:

u ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ) = X 1 ( x 1 ) X 2 ( x 2 ) X 3 ( x 3 ) . . . X n ( x n )

u ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n ) = X 1 ( X 1 ) X 2 ( X 2 ) X 3 ( X 3 ) . . . X n ( X n )

L’insertion de l’Ansatz dans le PDE d’origine et une retouche minimale permettent alors de séparer les variables sous la forme d’un certain nombre d’OD:

F 1 [ X 1 ( x 1 ) ] = f 2 [ X 2 ( x 2 ) ] + f 3 [ X 3 ( x 3 ) ] + . . . + f n [ X n ( x n ) ]

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] + F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] + . . . + F n [ X n ( X n ) ]

Présentation d’une constante de séparation comme

m 2

donne ensuite:

F 1 [ X 1 ( x 1 ) ] = f 2 [ X 2 ( x 2 ) ] + f 3 [ X 3 ( x 3 ) ] + . . . + f n [ X n ( x n ) ] = m 2

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] + F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] + . . . + F n [ X n ( X n ) ] = m 2

Nous résolvons ensuite

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = m 2

en utilisant les conditions aux limites pertinentes. Une fois que

m 2

est déterminé, nous pouvons également écrire:

F 2 [ X 2 ( x 2 ) ] = m 2 f 3 [ X 3 ( x 3 ) ] . . . f n [ X n ( x n ) ] = o 2

F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] = m 2 F 3 [ X 3 ( X 3