Identité ϵ abcd R cd mn = ϵ mncd R cd ab ϵabcdRcdmncd = ϵmncdRcdabcd sous vide

phy_math

Identité ϵ abcd R cd mn = ϵ mncd R cd ab ϵabcdRcdmncd = ϵmncdRcdabcd sous vide


partant de

ϵρλξκRunebστξκ+ϵρσξκRunebτλξκ+ϵρτξκRξκλσξκ=0


L’
article dit, après une algèbre simple avec les propriétés anti-symétriques de

ϵunebc

Runebc

on peut obtenir

ϵρλξκRunebστξκ=ϵστξκRunebρλξκ

Tout d’abord, je suppose que les indices d’échange

ρλ

avec

στ

avec le premier identifiant Bianchi

je.e


ϵρλξκRunebστξκ=ϵρσξκ(Runeτλξunebκ+Runeλbτξuneκb)+ϵρτξκ(Runeλσξunebκ+Runeσbλξuneκb)


et

ϵστξκRunebρλξκ=ϵσρξκ(Runeλτξunebκ+Runeτbλξuneκb)+ϵσλξκ(Runeτρξunebκ+Runeρbτξuneκb)

Je peux voir que le premier terme de

ϵρλξκRunebστξκ

et

ϵστξκRunebρλξκ

sont égaux mais la deuxième partie ne semble pas égale (elle réduit la même forme d’idéénité que nous voulons prouver)


L’article dit que c’est un calcul simple avec les propriétés anti-symétriques de

ϵ

et

R

. Si vous savez comment faire cela, pouvez-vous me donner un indice ou une idée?

Bruce Lee

pouvez-vous vous référer au document en question?

phy_math

Le document auquel je fais référence est ARXIV 1006.3168V2

Réponses


 Saksith Jaksri

Tout d’abord, opérez avec

ϵσταβ


ϵρλξκRunebστξκϵσταβ+ϵρσξκRunebτλξκϵσταβ+ϵρτξκRξκλσξκϵσταβ=0


Ensuite, vous aurez

0=ϵρλξκRξκστϵσταβ+δρξκταβRunebτλξκδρξκσαβRξκλσξκ=ϵρλξκRξκστϵσταβ+2δρξκταβRunebτλξκ(1)

Nous avons besoin

δρξκταβ=(δρτδξαδκβδρτδκαδξβ+δξτδραδκβδξτδκαδρβ+δκτδξαδρβδκτδραδξβ)


alors

Runebτλξκδρξκταβ=2Rαβρλ


En utilisant cet eq (1) devient

4Rαβρλ=ϵρλξκRξκστϵσταβ


(

Rjeem=Rjeem


Notez que dans cette langue, vous devez uniquement utiliser les deux côtés avec Hodge dual, le résultat est

Rjeem=Rjeem


en effet, le résultat que vous voulez.
) Retour à notre méthode principale, utilisez les deux côtés avec

ϵαβμν

nous avons

4ϵαβμνRαβρλ=ϵρλξκRξκστ(2!(δμσδντδνσδμτ))


enfin

ϵμναβRαβρλ=ϵρλξκRξκμν

 

(sous, =, AB, abcd, CD, identité, mn, mncd, r, vide?, ϵ, ϵabcdRcdmncd, ϵmncdRcdabcd

 

google

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