Intégration de e −it p 2 + m 2 √ e − itp2 + m2 pour l’amplitude QM

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Intégration de e −it p 2 + m 2 √ e − itp2 + m2 pour l’amplitude QM


Ma question pourrait être plus sur les mathématiques que sur la physique, mais elle est née dans un contexte physique.

Prendre

=

c

= 1.

Je regardais l’amplitude pour qu’une particule libre se propage à partir d’une position initiale

r 0

à une position finale

r

, appeler

UNE ( t )

:

A ( t ) = ⟨r | e i H ^ t | r 0 ,

UNE ( t ) = r | e je H ^ t | r 0 ,

avec

H ^ = p ^ 2 + m 2

, donc

A ( t ) = 1 2 π 3 3 p e i t p 2 + m 2 e i p ( r r 0 ) .

UNE ( t ) = 1 2 π 3 3 p e je t p 2 + m 2 e je p ( r r 0 ) .

Comment intégrez-vous cela?

Et plus généralement, comment intégrez-vous une fonction> 1 où vous ne pouvez pas séparer toutes les variables? C’est à dire dans ce cas l’intégration est terminée

p X

,

p y

et

p z

mais le

p 2

est sous la racine carrée, donc nous ne pouvons pas simplement séparer chaque composant et l’intégrer …

Au fait, cette intégrale est réalisable, la réponse est apparemment la suivante (je n’ai aucune idée de comment y arriver!):

A ( t ) = 1 2 π 2 | r r 0 | p p sin ( p | r r 0 | ) e i t p 2 + m 2 .

UNE ( t ) = 1 2 π 2 | r r 0 | p p péché ( p | r r 0 | ) e je t p 2 + m 2 .

Réponses


 Funzies

Allez d’abord aux coordonnées sphériques:

A ( t ) = 1 2 π 3 0 d p 2 π 0 d ϕ π 0 d θ   p 2 péché θ e i t p 2 + m 2 e je p cos θ | r r 0 | ,

UNE ( t ) = 1 2 π 3 0 p 0 2 π ϕ 0 π θ p 2 péché θ e je t p 2 + m 2 e je p cos θ | r r 0 | ,

et effectuer l’intégrale triviale sur

ϕ

. Remplacer par la suite

y = cos θ

tel que

y = péché θ θ

et intégrer plus

y

:

A ( t ) = 1 π 2