Introduction de la coupure dans une procédure de renormalisation en mécanique quantique

cauchemardesque

Introduction de la coupure dans une procédure de renormalisation en mécanique quantique


J’ai lu un article sur la théorie de la renormalisation appliquée à un système coulombique simple à une particule avec un potentiel à courte portée.

En cours de renormalisation, les auteurs introduisent une coupure ultraviolette dans le potentiel de Coulomb à travers sa transformée de Fourier:

1rFT4πq2couper4πq2eq2une2/2FTerF(r/2une)r

Cela m’aiderait vraiment si vous pouviez expliquer en langage clair ce qui se passe ici.

Je suis un étudiant de quatrième année de premier cycle avec seulement une connaissance de base de la mécanique quantique, donc vous pourriez avoir à baisser un peu.

Réponses


 lionelbrits

Ce que vous décrivez est généralement appelé régularisation, à la différence de la renormalisation, bien que les termes soient liés. Il pourrait être utile de citer l’article que vous lisez, mais dans tous les cas, il arrive souvent que la physique à grande longueur d’onde ne dépende pas exactement des détails de la physique à courte distance. Par exemple, si vous diffusez une particule hors d’un potentiel coulombien, alors avec une impulsion finie (longueur d’onde finie), il n’y a pas assez de résolution pour voir ce qui se passe au plus profond du puits potentiel. Par exemple, en diffusant un proton hors d’un autre (diffusion de Rutherford), l’amplitude pour que les deux protons se rapprochent suffisamment pour que nous puissions voir les détails sous-nucléaires disparaît à un faible moment. D’un autre côté, si nous essayons simplement de brancher le potentiel de Coulomb dans nos formules, les calculs explosent.

L’idée est alors de choisir une échelle de longueur et de convenir que toutes les impulsions seront telles que les longueurs d’onde sont supérieures à cette échelle de longueur. Nous déformons ensuite le potentiel de Coulomb pour que nos calculs ne se comportent pas mal à

r=0

. Parce que nos longueurs d’onde sont beaucoup plus longues que notre coupure, les détails de la façon dont nous déformons le potentiel ne devraient pas affecter la réponse (ce n’est pas toujours garanti). Si tel est effectivement le cas, prendre l’échelle de longueur de coupure à

0

est équivalent à nos réponses convergeant vers une certaine limite.

La raison pour laquelle nous effectuons la coupure dans l’espace de moment est parce que c’est l’espace naturel où la physique à courte distance se sépare de la physique à longue distance (la transformée de Fourier sépare les fonctions d’onde en fonction de leur longueur d’onde). Ce n’est pas toujours la façon dont les choses se font. Dans la théorie des champs quantiques, par exemple, une façon consiste à prendre la dimension de l’espace-temps comme paramètre libre. Le choix exact de la procédure de régularisation dépend de ce qui convient au calcul. La divergence dans votre calcul est finalement liée au fait que le photon est sans masse. Le régulateur utilisé est de donner au photon une masse finie mais faible.

Pour résumer: c’est une astuce mathématique qui dépend d’un découplage entre physique à courte distance et physique à longue distance. Cette dernière est appelée renormalisation.

cauchemardesque

Je comprends en quelque sorte ce que vous voulez dire. Bien sûr, à moins de me plonger dans les mathématiques réelles, les idées ne formeront pas une image concrète dans mon esprit (la langue anglaise ne peut aller jusqu’à donner une perception correcte de la physique réelle). Mais, j’ai l’idée de base. Si vous me permettez de poser une autre question, je me demandais pourquoi il était nécessaire de se transformer en espace de momentum pour introduire la coupure et comment la forme EXACTE de la coupure a été réellement déterminée.

Adam

Il n’est pas nécessaire de régulariser dans l’espace de moment, on pourrait utiliser un potentiel de Coulomb régularisé comme

 

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