Invariance de jauge des théories non abéliennes sous Pauli-Villars-Régularisation

Statique

Invariance de jauge des théories non abéliennes sous Pauli-Villars-Régularisation


Sous la régularisation ordinaire de Pauli -Villars, on introduit une masse lourde (

Λ

) terme

1 p 2 m 2 + i ϵ 1 p 2 m 2 + i ϵ 1 p 2 Λ 2 + i ϵ .

1 p 2 m 2 + je ϵ 1 p 2 m 2 + je ϵ 1 p 2 Λ 2 + je ϵ .

Maintenant, Kugo dans son livre « Théories de jauge » dit que le terme de régularisation de Pauli-Villars viole l’invariance de jauge pour les cas non abéliens.

Pour le terme de propagateur habituel avant régularisation, on pourrait soutenir que l’invariance de jauge est manifestement préservée puisque le propagateur sous sa forme est dérivé directement du lagrangien invariant de jauge.

Le processus de régularisation ne se déroule pas au niveau lagrangien, donc l’invariance de jauge ne peut pas être prouvée par de simples transformations de jauge des champs. Quel est l’argument pour la violation de l’invariance de jauge du

Λ

– terme. Comment « voir » cela? Ou de même, comment peut-on voir l’invariance de jauge de la régularisation dans le cas abélien?

user122066

Il me semble que les mathématiques sont apparemment les mieux adaptées aux mathématiques SE.

David Z ♦

Notre dernière méta-discussion s’est conclue par le résultat que les articles qui montrent un contexte physique suffisant, même s’ils peuvent poser une question essentiellement mathématique, sont sur le sujet ici. Je pense que cela correspond à cette description.

Réponses


 ved

Dans le cas abélien, le propagateur de photons sous régularisation Pauli-Villars va comme

1 k 2 1 k 2 1 k 2 Λ 2

1 k 2 1 k 2 1 k 2 Λ 2

qui est essentiellement

1 / ( k 2 Λ 2 k 4 )

. La présence du terme supplémentaire dans le propagateur peut être obtenue en complétant le lagrangien par un terme supplémentaire

1 2 Λ 2 A μ A μ

1 2 Λ 2 UNE μ UNE μ

qui en utilisant la jauge Lorenz peut être converti en

1 2 Λ 2 ν F ν μ σ F σ μ

1 2 Λ 2 ν F ν μ σ F σ μ

comme

σ F σ μ = σ ( σ UNE μ μ UNE σ )

σ F σ μ = σ ( σ UNE μ μ UNE σ )

et l’utilisation du second terme de la jauge Lorenz peut être abandonnée. Maintenant, l’expression

1 2 Λ 2 ν F ν μ σ F σ μ

est U (1) invariant comme

F ν μ

est invariant U (1) donc la régularisation de Pauli -Villars préserve l’invariance de jauge dans le cas abélien.

Dans le cas Yang -Mills, un terme comme

1 2 Λ 2 UNE μ UNE μ

viole l’invariance de jauge en raison de la présence d’une dérivée simple au lieu de dérivées covariantes. Il n’est pas possible de convertir ce terme par une transformation de jauge en une forme qui a une jauge explicite

c o v une r je une n c e

. L’invariance de jauge ne peut être obtenue qu’en modifiant le lagrangien de manière appropriée pour le cas de Yang-Mills qui ne découle pas de la procédure de Pauli-Villars.

L’exigence d’une dérivée covariante dans le cas non abélien pour l’invariance de jauge vient du fait que dans le cas non abélien, l’intensité du champ de Yang-Mills se transforme de manière homogène sous la transformation de jauge comme

F U F U 1

par opposition au cas abélien où il est invariant de jauge. Le dérivé covariant a la même loi de transformation que le champ sous transformation de jauge que

U U 1

, donc la combinaison

μ F μ ν

se transformera de manière homogène, ce qui ne sera pas le cas si nous utilisons une dérivée partielle au lieu d’une dérivée covariante. Sous un terme de trace dans le lagrangien qui comprend quelques termes comme celui-ci, vous pouvez utiliser la propriété cyclique de la trace pour montrer que le terme (comme celui mentionné ci-dessous) n’est pas affecté par la transformation de jauge.

Une exigence de terme invariant de jauge dans le lagrangien impliquera un terme dérivé covariant supérieur comme

t r ( 1 Λ 2 α F μ ν α F μ ν )

.

Cette forme modifiée de régularisation de Pauli-Villars a été utilisée par AA Slavnov dans Nucl. Phys. B, 31, 301 (1971).

Statique

Pourriez-vous élaborer davantage sur le point « de simples dérivées partielles qui ne sont pas covariantes » ou fournir un lien?

ved

J’ai modifié la réponse.

Statique

Ah ok. Vous vouliez dire connexion de jauge. Merci

 

(sous, #de, abéliennes, des, Invariance, jauge, non, Pauli-Villars-Régularisation, théories

 

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