Je ne comprends pas l’intégrale sur le carré de la fonction delta de Dirac

Peter4075

Je ne comprends pas l’intégrale sur le carré de la fonction delta de Dirac


Dans l’ introduction de Griffiths à QM [1], il donne les fonctions propres de l’opérateur hermitien

X ^ = X

comme étant

g λ ( x )   =   B λ δ ( x λ )

g λ ( X ) = B λ δ ( X λ )

(cf. dernière formule p. 101). Il dit ensuite que ces fonctions propres ne sont pas carrées intégrables car

g λ ( x ) g λ ( x ) d X   =   | B λ | 2 δ ( x λ ) δ ( x λ ) d X   =   | B λ | 2 δ ( λ λ )    

g λ ( X ) g λ ( X ) X = | B λ | 2 δ ( X λ ) δ ( X λ ) X = | B λ | 2 δ ( λ λ )

(cf. deuxième formule p. 102). Ma question est de savoir comment arrive-t-il au terme final, plus précisément, où

δ ( λ λ )

vient-il?

Ma connaissance totale de la fonction delta de Dirac a été glanée plus tôt dans Griffiths et s’étend à peu près à la compréhension

F ( x ) δ ( x a ) d X   =   F a ) (2,95)

(2,95) F ( X ) δ ( X une ) X = F ( une )

(cf. deuxième formule p. 53).

Les références:

  1. DJ Griffiths, Introduction à la mécanique quantique, (1995) p. 101-102.

Réponses


 Lin

Vous n’avez besoin que de votre compréhension de

F ( x ) δ ( x a ) d x = f a )

F ( X ) δ ( X une ) X = F ( une )

Il suffit de traiter l’une des fonctions delta comme

F ( X ) δ ( X λ )

dans votre problème. Ce serait donc quelque chose comme ceci:

δ ( x λ ) δ ( x λ ) d x = F ( x ) δ ( x λ ) d x = f ( λ ) = δ ( λ λ )

δ ( X λ ) δ ( X λ ) X = F ( X ) δ ( X λ ) X = F ( λ ) = δ ( λ λ )

Alors voilà.

Qmécanicien ♦

Il faut souligner que dans la théorie mathématique classique des distributions, la propriété de tamisage (2.95) n’est a priori définie que si

Ján Lalinský

Qmechanic a raison,


 Qmechanic

Eh bien, la fonction delta de Dirac

δ ( X )

est une distribution , également connue sous le nom de fonction généralisée.

On peut par exemple représenter

δ ( X )

comme limite d’un pic rectangulaire avec surface unitaire, largeur

ϵ

et hauteur

1 / ϵ

; c’est à dire

δ ( x )   =   lim ϵ 0 + δ ϵ ( x ) , (1)

(1) δ ( X ) = lim ϵ 0 + δ ϵ ( X ) ,

δ ϵ ( x )   : =   1 ϵ θ ( ϵ 2 | x | )