La modification d’une surface fermée de la manière décrite est-elle contraire à la loi de Gauss?

Le buteur

La modification d’une surface fermée de la manière décrite est-elle contraire à la loi de Gauss?


Si je comprends bien, la loi de Gauss déclare que le flux électrique sur toute surface fermée arbitraire est équivalent à la somme de toutes les charges enfermées dans la surface multipliée par une constante. Mathématiquement, voici son expression:

EUNE=qε0

Ok, considérons maintenant une sphère de rayon

r

comme la surface fermée entourant une charge ponctuelle

P

situé au centre de la sphère. Je vais simplifier les images avec des dessins d’un cercle plutôt que d’une sphère, mais je m’attends à ce que la façon dont je veux étendre cela en 3D soit évidente. Ça devrait ressembler à ça:
Sphère 1

Maintenant, comment la loi de Gauss tient devrait être évidente – le champ électrique en tous points de la surface est le même, donc on peut multiplier le champ électrique au rayon

r

,

E0

, par la surface d’une sphère pour obtenir le flux électrique total. Ainsi le flux de la sphère 1 est

E04πr2

, et la charge jointe est donc:

E0ε04πr2=q=P

Maintenant, sur une sphère, nous allons utiliser quatre points pour faire un avion, mais pour continuer notre dessin, prenons deux points

UNE

et

B

à la surface de la sphère. La ligne

UNEB

doit répondre à deux critères: 1) Il est perpendiculaire au rayon du cercle. 2) Sa longueur est inférieure à

r

.

Ainsi, la ligne ressemblera à ceci:
Sphère 1 avec AB

Maintenant, prenons le morceau du côté opposé à la ligne et réfléchissons-le sur la ligne pour faire une fossette sur le cercle qui ressemble à ceci:

Sphère 1 avec la même fossette
Sur une sphère, cela devrait ressembler à une fossette sur une balle.


Maintenant, chaque point qui n’a pas été réfléchi a le même flux électrique qui le traverse que le point correspondant de la première sphère. De plus, la partie réfléchie évite les complications avec la zone traversée par le flux en conservant la même courbure qu’auparavant. Cependant, étant donné que la surface réfléchie est maintenant plus proche de la charge ponctuelle, cette partie de la surface a une valeur de champ électrique supérieure à la même partie avant sa réflexion. Ainsi, nous pouvons conclure que le flux électrique net est plus important lorsque nous réfléchissons une fossette sur notre sphère. Dans notre équation:

EUNE=qε0


Cela impliquerait que la charge enfermée est plus importante car la permittivité de l’espace libre est constante, mais cela ne peut pas être le cas car nous n’avons pas modifié la charge enfermée

P

du tout.

Je demande une explication de la raison de cette contradiction ou de ce que je comprends mal. : P

CuriousOne

Vous multipliez les vecteurs avec un produit scalaire, pas des scalaires, ce qui devrait être évident si vous regardez l’intégrande et le côté droit, de plus, la surface est de plus en plus petite.

Le buteur

@CuriousOne Le problème dont vous parlez est-il lié à l’angle du vecteur de champ électrique avec la petite zone? De plus, la surface de la surface ne diminue pas. Cela a été évité en utilisant la réflexion pour maintenir la même courbure sur chaque petite zone qu’avant la réflexion.

Règle d’Evan

Lorsque la surface est une sphère, le champ électrique (qui est radial) est partout normal à la surface et le produit scalaire est maximum. Lorsque vous déformez la surface de la manière que vous suggérez, vous avez créé des régions qui, bien que plus proches de la charge ponctuelle, n’ont plus la normale à la surface coïncidant avec la direction du champ électrique.

CuriousOne

Il n’y a aucun problème, vous ne faites simplement pas la multiplication correctement. Vous connaissez le domaine d’une charge ponctuelle, vous pouvez calculer vos éléments de surface et vous savez comment vous intégrer. Faites-le explicitement et vous verrez que le résultat sera le même.

Le buteur

Oh d’accord, merci @CuriousOne. Et merci beaucoup Evan, je ne peux pas croire que j’ai raté ça.

Réponses


 Ratnottam Das

Le côté RHS de la loi de Gauss, c’est-à-dire que la charge incluse doit rester la même est en effet vrai. La confusion apparente, le cas échéant, devrait être dans le LHS de l’équation, l’intégrale du «produit scalaire» des vecteurs de champ et de surface. Considérez le diagramme,
entrez la description de l'image ici

Maintenant, lorsque nous prenons le produit scalaire du vecteur de champ avec le vecteur d’aire dans le cas initial, les vecteurs de champ et de surface sont parallèles, et par conséquent, la valeur de cosinus est 1 (dans le produit scalaire), puis vous obtenez le réponse requise. Maintenant, dans le deuxième cas, le vecteur d’aire n’est plus parallèle au vecteur de champ (le vecteur de champ reste dans la direction du vecteur d’aire) et vous finissez par multiplier la magnitude d’une composante (le cosinus) par la magnitude du champ à ce emplacement. L’amplitude du produit scalaire de deux vecteurs non parallèles est inférieure à celle de deux vecteurs parallèles. Ainsi, alors que vous diminuez la distance entre la charge et la surface, en même temps, le cosinus ne reste plus le même, il annule donc l’effet de la distance.

 

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