Lagrangien à Hamiltonien dans la théorie quantique des champs

1. En dérivant le hamiltonien de la densité lagrangienne, nous utilisons la formule

   H   =   π ϕ ˙ – L.

   Mais comme nous considérons l’espace et le temps comme des paramètres, pourquoi la formule

   H   =   π μ ∂ μ ϕ – L

   N’est pas utilisé?

2. Existe-t-il des notes particulières de livre / conférence traitant de ce genre de questions en physique théorique, j’aimerais les connaître?

La réponse de Vladimir a la bonne essence mais elle est également trompeuse, alors permettez-moi de clarifier.

La formule

la relation entre l’hamiltonien et le lagrangien est tout à fait générale. Il est vrai dans toutes les théories qui admettent à la fois les Lagrangiens et les Hamiltoniens, qu’ils soient relativistes ou non, qu’ils aient ou non une autre symétrie en dehors de la symétrie de Lorentz.

Lorsque vous avez la théorie des champs, l’hamiltonien et le lagrangien peuvent être écrits comme des intégrales spatiales de leurs densités.

En combinant cela avec la première formule, nous obtenons la relation

Maintenant, vous avez proposé une formule différente et je suppose que la raison pour laquelle vous l’avez proposée est qu’elle vous semble plus invariante de Lorentz, comme cela est approprié pour les théories de champ invariantes de Lorentz. C’est une belle motivation.

Cependant, ce qui ne va pas dans votre raisonnement, c’est l’hypothèse que la densité hamiltonienne et la densité lagrangienne sont invariantes de Lorentz. Alors que la densité lagrangienne est un joli scalaire, elle est donc invariante de Lorentz (la densité à l’origine, au moins), et c’est parce que l’intégrale de celle-ci est l’action invariante de Lorentz qui devrait être stationnaire, il n’en va pas de même pour l’hamiltonien et sa densité.

Le hamiltonien est intrinsèquement lié à la direction du temps: il est le générateur des translations dans le temps (les contreparties spatiales du hamiltonien sont les composantes spatiales de l’élan); c’est l’énergie, la 0ème composante d’un 4-vecteur, H ≡ p 0

. Donc, l’argument selon lequel cette formule devrait être Lorentz-covariant est invalide, votre formule proposée est fausse et la bonne formule était justifiée au début de mon commentaire.

Lubos Motl et Vladimir Kalitvianski ont déjà fourni des réponses conventionnelles correctes concernant la transformation de Legendre du formalisme lagrangien au formalisme hamiltonien.

Néanmoins, il semble approprié de mentionner que la deuxième équation d’OP (v2)

est précisément le point de départ de la théorie De Donder – Weyl , qui introduit le polymomenta.

Concernant le formalisme hamiltonien manifestement covariant, voir aussi par exemple Réf. 1 et ce poste Phys.SE.

Les références:

1. C. Crnkovic et E. Witten, Description covariante du formalisme canonique dans les théories géométriques. Publié dans Trois cents ans de gravitation (Eds. SW Hawking et W. Israel), (1987) 676.

Le temps joue un rôle particulier, même en relativité. Les coordonnées temporelles et spatiales (« longueurs ») ne sont pas interchangeables. En d’autres termes, il n’y a pas de symétrie complète entre eux, même s’ils peuvent se transformer ensemble. Nous appliquons donc une formule habituelle pour construire un hamiltonien si le lagrangien correspondant est connu.

Soit dit en passant, le formalisme hamiltonien dans QFT est aussi invariant relativiste que le formalisme lagrangien; le premier n’est tout simplement pas manifeste invariant contrairement au second.

Une autre référence à une telle approche (un court article):

Hamiltonian Mechanics of Fields RH Good, Jr. Département de physique, Université de Californie, Berkeley, Californie http://prola.aps.org/abstract/PR/v93/i1/p239_1

du résumé:

Dans la mécanique des champs relativistes, on introduit habituellement la dérivée temporelle d’une composante de champ comme sa vitesse et la dérivée partielle de la densité lagrangienne par rapport à la vitesse comme son moment cinétique conjugué. Afin de traiter le temps et l’espace de manière équivalente, Born et Weyl ont traité les quatre dérivées spatio-temporelles d’une composante de champ comme quatre vitesses et introduit les quatre dérivées partielles de la densité lagrangienne par rapport aux vitesses comme quatre impulsions. Dans le présent article, cette idée est poussée plus loin afin d’introduire les généralisations des idées de mécanique des points des équations hamiltoniennes, des crochets de Lagrange, des crochets de Poisson et des intégrales du mouvement.