Le conducteur entoure complètement un autre conducteur

Loonuh

Le conducteur entoure complètement un autre conducteur


Un problème dans mon livre demande

« Démontrer que la capacité d’un conducteur est toujours inférieure ou égale à la capacité d’un conducteur qui peut l’entourer complètement ».

La solution à cela est évidente pour moi pour les conducteurs qui sont concentriques et qui ont une symétrie poloïdale / azimutale car toutes les intégrales impliquées sont alors très faciles. Cependant, si l’on a des conducteurs de forme irrégulière, y a-t-il une généralisation des intégrations qui peuvent être utilisées pour montrer ce résultat?

Floris

Essayez de montrer ce qui se passe si vous faites une très petite perturbation à la surface – si c’est vers l’extérieur, qu’arrive-t-il à la distribution du champ? Une fois que vous avez établi cela pour une petite déviation, vous pouvez l’intégrer pour obtenir la forme que vous souhaitez.

Loonuh

Quand vous dites perturbation, voulez-vous dire comme donner à la sphère une petite partie hérissée? Ou voulez-vous dire augmenter légèrement le rayon de la sphère? Ce dernier a un résultat évident, mais le premier me semble insoluble.

Floris

Je veux dire – ajoutez une petite « bosse » comme vous obtiendriez si une petite sphère s’étendait légèrement de la surface. Vous connaissez le champ à cause d’une petite sphère et à cause de la grande sphère. Voyez si vous pouvez aller n’importe où avec la superposition. Je soupçonne que cela peut être fait.

Loonuh

Après avoir essayé un peu, je ne sais pas encore si je comprends.

Floris

Si vous déplacez une petite partie de la surface chargée vers l’extérieur, vous diminuerez l’énergie (en raison de la répulsion des autres charges). Si les charges se redistribuent par la suite, elles le font pour réduire encore plus leur énergie.

Réponses


 Spirko

C’est intéressant parce que la preuve a besoin d’une relation entre la loi de Gauss, qui implique une surface interne de

E

, et une définition de la différence de potentiel, qui implique une ligne intégrale de

E

.

Si vous considérez uniquement le conducteur d’origine avec une charge positive et placez une surface gaussienne à la position du conducteur extérieur, la composante de champ électrique moyenne perpendiculaire à la surface (moyennée spatialement sur la surface) pointe vers l’extérieur. Un point de la surface doit en fait avoir cette valeur. Puisque le champ électrique pointe vers un potentiel plus faible, l’intérieur a un potentiel plus élevé. Répétez l’opération pour une progression des surfaces qui interpolent l’espace entre les deux conducteurs. Cela établit que la surface intérieure est à un potentiel plus élevé que la surface de commande.

Travaillez les surfaces gaussiennes dans l’autre sens (vers l’infini) et vous pouvez établir que si l’une ou l’autre surface reçoit la même charge positive, la surface externe sera à un potentiel plus faible. Par conséquent, l’extérieur a plus de capacité.

Loonuh

Étant donné que sa moyenne et les conducteurs sont des surfaces à potentiel égal, cela ne signifie-t-il pas que la moyenne n’est en fait que LE potentiel?

Spirko

@Loonuh, pas tout à fait. La moyenne que j’ai mentionnée est une moyenne de

Loonuh

Existe-t-il un moyen de montrer cela plus rigoureusement? Qu’en est-il d’essayer d’exprimer les densités uniformément réparties sur des surfaces arbitraires? Ou réécrire la loi de Gauss en

Spirko

@Loonuh Oui, probablement. Mon intuition est qu’elle implique de changer l’ordre des opérations linéaires, le gradient et l’intégrale de surface. Un autre outil probable est une forme du théorème de la valeur moyenne ou du théorème de la valeur intermédiaire.

 

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