Le potentiel de la fonction Delta

Logan

Le potentiel de la fonction Delta


Je lis par Griffiths Intro à QM 2nd Ed. et en ce qui concerne les états liés / diffusés (2.5), ils disent:

E<0

état lié

E>0

état de diffusion

Pourquoi cela ne change-t-il pas selon que vous avez un potentiel de fonction delta positif ou négatif?

suresh

Ceci est déterminé par le comportement à l’infini. Pour un état de diffusion en 1d, l’état stationnaire avec l’énergie

unym

Pour clarifier, pour un état lié, il devrait être

Réponses


 Mateus Sampaio

Cette définition des états liés et de diffusion n’est pas tout à fait correcte, bien qu’elle soit valable pour de nombreux potentiels. Il existe des contre-exemples à ce fait qui ont leurs racines dans un article de von Neumann et Wigner. L’un est le potentiel sphérique

V(r)=32péchérpéchér(1+r)cosr(2+2rpéché2r)2


Il n’est pas difficile de vérifier que

V(r)

est une fonction continue bornée qui disparaît à l’infini. Même si la fonction

ψ(X)=2péchérr(2+2rpéché2r)


est une fonction propre de

H=Δ+V

, avec valeur propre

1>0

.

Graphiques Mathematica

Il s’agit donc d’un exemple d’un état lié pour lequel ces conditions ne sont pas remplies. La définition précise des états liés est plus subtile et est donnée par les éléments de

Hlié(H)={ψ(X,0)L2(Rn):limrsoupertRRnB(0;r)|ψ(X,t)|2X=0},


ψ(X,t)=ejetHψ(X,0)

, c’est-à-dire les états qui sont localisés dans l’espace à tout moment

t

. C’est toujours vrai que

Hlié(H)Hp(H)

, la fermeture de l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs propres de

H

, et pour certains potentiels, l’égalité est valable.

Pour le potentiel delta-fonction, la réalisation d’un opérateur auto-adjoint qui a les bonnes propriétés n’est pas si simple, mais peut se faire d’une certaine manière. Mais comme Griffiths en parle, le passage d’un potentiel delta négatif à un potentiel delta positif tue l’état lié, car sa seule fonction propre n’est plus normalisable et tous les états sont des états diffusants.

Emilio Pisanty

L’état propre que vous mentionnez est-il intégré dans un continuum (et donc une résonance? Ou sujet à un couplage de Fano au continuum?) Ou le continuum commence-t-il au-dessus de lui? Plus généralement, pouvez-vous fournir une référence à l’article original ou un bon examen de ce potentiel?

Mateus Sampaio

Merci pour l’image! Il est intégré dans le spectre du continuum qui est dans ce cas


 Eric Angle

Si

E<V()

,

E<V(+)

, Et

E>Vmjen

(nécessaire pour

Ψ

normalisable), alors c’est un état lié, et le spectre sera discret:

Ψ(X,t)=ncnΨn(X,t).


Sinon – si

E>V()

ou

E>V(+)

– c’est un état de diffusion, et le spectre sera continu:

Ψ(X,t)=k c(k)Ψk(X,t).

V(±)=0

pour les deux

V(X)=+δ(X)

et

V(X)=δ(X)

, donc

E

doit être négatif pour avoir un état lié.

min+δ(X)=0

, il n’y a donc pas d’états liés pour

V(X)=+δ(X)

.

minδ(X)=

, donc pour

V(X)=δ(X)

,

E<0

pour un état lié et

E>0

pour un état de diffusion, comme vous l’avez fait.

EDIT : Comme l’a souligné @Mateus Sampaio, il existe apparemment des exceptions aux règles générales ci-dessus.

Mateus Sampaio

Ce n’est pas toujours vrai, comme vous pouvez le voir dans ma réponse.

kalkanistovinko

Qu’en est-il de l’article de von Neumann et Wigner, dans lequel ils montraient un état lié ayant son énergie dans le spectre du continuum? en.wikipedia.org/wiki/Bound_state#cite_note-5

 

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