Le rôle de l’invariance de difféomorphisme actif et passif dans GR

Le rôle de l’invariance de difféomorphisme actif et passif dans GR


Je voudrais quelques éclaircissements concernant les rôles de l’invariance par difféomorphisme actif et passif dans les ressources génétiques entre ces sources potentiellement conflictuelles.

1) Wald écrit, après avoir expliqué que les difféomorphismes passifs sont équivalents à des changements de coordonnées,

« Ce point de vue » passif « sur les difféomorphismes est, philosophiquement, radicalement différent du point de vue » actif « ci-dessus, mais, dans la pratique, ces points de vue sont vraiment équivalents puisque les composants du tenseur

ϕ T

à

ϕ ( p )

dans le système de coordonnées

{ y μ }

dans le point de vue actif sont précisément les composants de

T

à

p

dans le système de coordonnées

{ X μ }

au point de vue passif.  »

(Wald, relativité générale, annexe C.1)

2) Gaul et Rovelli écrivent,

« La relativité générale se distingue des autres théories du champ dynamique par son invariance sous difféomorphismes actifs . Toute théorie peut être rendue invariante sous difféomorphismes passifs. L’invariance par difféomorphisme passif est une propriété de la formulation d’une théorie dynamique, tandis que l’invariance par difféomorphisme actif est une propriété de la la théorie dynamique elle-même .  »

(Gaule et Rovelli, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910079 , section 4.1)

Il semble que Wald dit qu’il n’y a pas de différence mathématique entre les deux, et que les deux impliquent les mêmes conséquences physiques. Il semble cependant que la Gaule et Rovelli disent que seule l’invariance par difféomorphisme actif a une signification physique qui peut influencer la dynamique de la théorie. Quelqu’un peut-il expliquer?

joshphysics

Mon Dieu, vous êtes un étudiant de 6e année et vous pensez que vous avez tout compris: vous comprenez les GR, les transformations actives et les transformations passives, puis la physique apparemment inoffensive de quelqu’un. La question de SE brise vos rêves.

Trimok

Une perspective sans coordonnées est certainement intéressante d’un point de vue fondamental (une réalité « intrinsèque » ne dépendant pas des observateurs), il serait donc intéressant de rechercher des relations sur différentes réalités intrinsèques (dans ce cas, des difféomorphismes actifs), mais, pratiquement , quel calcul intéressant pouvons-nous faire dans un formalisme sans coordonnées? Malheureusement, il semble que l’utilisation d’un formalisme coordonné soit obligatoire, je suis donc d’accord avec le point de vue de Wald.

MBN

Je ne pense pas que les deux citations se contredisent. Wald ne parle pas de l’invariance du difféomorphisme, mais de l’apparence locale des difféomorphismes en coordonnées. Pour que la théorie soit invariante dans les diff. Passives signifie être bien définie, être invariant dans les diff. Actives est quelque chose de bien plus.

Réponses


 twistor59

Je pense que la meilleure approche est d’essayer de comprendre un exemple concret:

Regardons un morceau du plan euclidien coordonné par

X une = ( X , y ) ; une = 1 , 2

dans une belle grille rectangulaire avec métrique euclidienne. Supposons maintenant que nous définissons une transformation

X ( x , y ) = x ( 1 + α y 2 )

X ( X , y ) = X ( 1 + α y 2 )

Oui ( x , y ) = y ( 1 + α x 2 )

Oui ( X , y ) = y ( 1 + α X 2 )

α

est juste une constante, que nous prendrons comme 5/512 – pour pouvoir dessiner des diagrammes. Un point P avec coordonnées

( X , y ) = ( 8 , 8 )

est mappé sur un point P ‘avec des coordonnées

( X , Oui ) = ( 13 , 13 )

.

Vue passive

Ici, nous ne considérons pas P et P ‘comme des points différents, mais plutôt comme le même point et

( 13 , 13 )

ne sont que les coordonnées de P dans le nouveau système de coordonnées

X une

. entrez la description de l'image ici

Dans l’image, les lignes bleues sont les lignes de coordonnées

X une =

const et les lignes rouges sont les lignes de coordonnées

X une =

const. Composants métriques sur notre manifold

g une b ( X )

être mappé à de nouvelles valeurs

h a b ( X ) = X c X une X X b g c d ( x )     ( 1 )

h une b ( X ) = X c X une X X b g c ( X ) ( 1 )

Cela représente le même objet géométrique puisque

h a b ( X ) d X une d X b = g a b ( x ) d X une d X b

h une b ( X ) X une X b = g une b ( X ) X une X b

Vue active

Une description de la vue active qui est parfois utilisée est que les points sont «déplacés» (dans un certain sens, il vaut peut-être mieux penser seulement à une association entre des points, «se déplacer» implique «par rapport à un arrière-plan»). Ainsi, dans notre exemple, nous penserions que le point P a été « étiré » vers le nouvel emplacement P ‘. (Ces emplacements sont par rapport à l’ancien

X

système de coordonnées). entrez la description de l'image ici

Le vieux (bleu)

X =

les lignes de coordonnées constantes sont également entraînées dans les lignes rouges illustrées dans le diagramme. Ainsi, le point P conserve ses anciennes valeurs de coordonnées

( 8 , 8 )

dans son nouvel emplacement, à savoir

( X , Oui ) = ( 8 , 8 )

. La métrique est également traînée (voir par exemple Lusanna ) selon:

h a b ( X ) | P   X une d X b = g a b ( x ) | P   X une d X b     ( 2 )

h une b ( X ) | P X une X b = g une b ( X ) | P X une X b ( 2 )

Ainsi, l’ancienne métrique euclidienne

X 2 + y 2

devient

X 2 + Oui 2

, c’est-à-dire encore euclidienne dans le nouveau

( X , Oui )

graphique – rien n’a changé. Ainsi, par exemple, l’angle entre les vecteurs rouges

X

,

Oui

est toujours à 90 degrés, comme pour les vecteurs bleus

X

,

y

! Je suppose que c’est ce que Wald entend par l’équivalence physique – dans cet exemple, une métrique euclidienne reste euclidienne.

entrez la description de l'image ici

Maintenant, si nous regardons les vecteurs rouges du point de vue du cadre bleu, ils ne semblent certainement pas orthogonaux *, donc du point de vue bleu, il ne peut s’agir que d’une nouvelle métrique dans laquelle les vecteurs rouges sont orthogonaux . Les difféomorphismes actifs peuvent donc être interprétés comme générant de nouvelles métriques.

Supposons maintenant que nous ayons un espace-temps – une variété avec métrique pour laquelle le tenseur d’Einstein

g μ ν

disparaît. En appliquant un difféomorphisme actif, nous pouvons générer la traînée du tenseur d’Einstein par une règle analogue à (2). Comme nous l’avons vu, si nous comparons la métrique traînée avec l’ancienne dans les mêmes coordonnées, nous voyons que nous avons un espace-temps avec une nouvelle métrique. De plus, le nouvel espace-temps doit également avoir un tenseur d’Einstein qui disparaît – par l’analogue de (2), le fait qu’il a disparu dans l’ancien système signifie qu’il disparaît dans le nouveau système et donc notre tenseur d’Einstein nouvellement créé disparaît aussi (si un tenseur disparaît aussi) dans un ensemble de coordonnées, il disparaît en tout).

À cet égard, l’invariance des équations d’Einstein sous les difféomorphismes actifs est particulière. Si nous prenons, par exemple, l’équation d’onde dans l’espace-temps courbe

( g μ ν μ ν + ξ R ) ϕ ( x ) = 0

( g μ ν μ ν + ξ R ) ϕ ( X ) = 0

alors les difféomorphismes actifs ne prennent pas naturellement des solutions aux solutions – ils changent la métrique, et la métrique dans cette équation fait partie de l’arrière-plan et est fixe. En revanche, dans les équations d’Einstein, la métrique est ce que vous résolvez pour que l’invariance du difféomorphisme soit intégrée.

* Calculez simplement les vecteurs

X , Oui

en terme de

X

,

y

et tester leur orthogonalité en utilisant la métrique euclidienne d’origine.


 ben

Je pense que Wald a raison et que Gaul et Rovelli se trompent. Actif et passif ont des sensations très différentes, car actif déplace des points et passif ne fait que re-choisir des coordonnées. Mais tout le point des coordonnées est qu’elles décrivent très bien les points, et donc cartographier les points équivaut à démapper les coordonnées. Il n’y a pas de différence substantielle entre l’invariance par difféomorphisme actif et passif.

La chose que GR a que les autres théories n’ont pas, c’est le concept de «pas d’espace-temps préalable» (voir Misner Thorne Wheeler), ce qui signifie que toute structure doit être dynamique. Les champs d’arrière-plan fixes sont incompatibles avec la théorie. Mais je ne vois pas comment cela a quoi que ce soit à voir avec l’invaraince du difféomorphisme.

Ce qui prête à confusion, c’est qu’il est possible d’appliquer un difféomorphisme à certaines structures et pas à d’autres. Par exemple, on peut transformer la métrique mais pas la matière, ou vice versa. On peut également transformer la métrique, mais conserver ensuite la métrique non transformée. Une isométrie, par exemple l’invariance de translation de temps, est une invariance de la métrique sous un certain type de difféomorphisme. Mais le fait que nous comparons la métrique transformée avec la métrique non transformée montre clairement que nous conservons quelque chose qui n’a pas été transformé. Ce n’est pas la même chose que l’invariance par difféomorphisme, qui suppose que toute la structure est mappée, et aucune de la structure non mappée n’est conservée pour comparaison.

Si l’on prend une solution sous vide aux équations d’Einstein, il est vrai qu’un difféomorphisme actif donnera une autre solution. Cependant, les géodésiques non mappées ne seront généralement pas des géodésiques de la métrique mappée. Toute structure non mappée pourrait être incompatible avec les équations d’Einstein mappées, donc pour obtenir une nouvelle solution, nous devons tout cartographier, y compris tous les autres champs (le cas échéant) ainsi que tous les ensembles de points (y compris les géodésiques). À ce stade, nous avons trouvé une nouvelle solution qui est jauge équivalente à l’ancienne solution, et elle aurait également pu être trouvée simplement en regardant l’ancienne solution dans de nouvelles coordonnées.

Lorsque nous disons que l’invariance de la traduction temporelle est une symétrie qui conduit à la conservation de l’énergie, cela n’a rien à voir avec l’invariance du difféomorphisme, même si la traduction temporelle est un difféomorphisme appliqué uniquement à la métrique (ou à tout sauf à la métrique). Cette symétrie est une déclaration sur la transformation de la matière par rapport à la métrique (c’est toujours une solution), ou une déclaration sur la transformation de la métrique par rapport à elle-même (elle est inchangée). Nous savons que la quantité (énergie) conservée est physique car elle peut prendre différentes valeurs pour différentes conditions initiales.

Par contre, l’invariance par translation des coordonnées t est une sorte d’invariance par difféomorphisme. Il s’agit de l’invariance de l’action (sur le shell ou désactivée) lorsque tout (métrique, tous les autres champs et conditions initiales) est mappé dans la direction t, et il se maintient même en l’absence d’isométrie (comme dans un espace courbe d’arrière-plan fixe , ou en GR). Aucune quantité conservée intéressante ne lui est associée, il s’agit donc d’une symétrie de jauge.


 jcb

Je dirais que Wald le dit à juste titre.

Un difféomorphisme est une carte de la variété en elle-même, ce qui est naturel à considérer comme des points mobiles (pensez-y simplement en images: des flèches entre deux copies de la même variété). Cependant, ce déplacement de choses n’est pas quelque chose de significatif en géométrie différentielle – tous les points dans une variété sont équivalents, dans le sens où leur voisinage ressemble

R n

.

Ensuite, le mouvement que nous pensons associé à une diffeo peut aussi bien être considéré comme un réétiquetage des points: si tous les points sont équivalents, ce que nous faisons lorsque nous les déplaçons est simplement en changeant leurs noms. C’est pourquoi nous pouvons adopter le point de vue passif selon lequel les différences laissent les points intacts et changent simplement les coordonnées.

En d’autres termes, la notion de déplacement d’un point implique une structure de fond: quelque chose bouge par rapport à autre chose. Cette structure d’arrière-plan manque dans la géométrie différentielle, et c’est pourquoi nous pouvons penser à la même opération (une diffeo) que de déplacer des points ou de les laisser où ils sont et de changer les coordonnées.

 

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