Les mises à jour de Monte-Carlo ont-elles une signification physique en mécanique statistique?

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Les mises à jour de Monte-Carlo ont-elles une signification physique en mécanique statistique?


Un exemple courant pour introduire des méthodes de Monte-Carlo en mécanique statistique est de déterminer les propriétés du modèle d’Ising en réseau carré 2D et de comparer les résultats obtenus avec la solution exacte d’Onsager. On travaille généralement avec une seule dynamique «spin flip» (SFD) pour mettre à jour les configurations de spin dans le modèle 2D Ising. Cependant, d’autres types de mises à jour peuvent être utilisées tant qu’elles satisfont l’ergodicité et l’équilibre détaillé. Maintenant ma question est la suivante:

Étant donné que différents types de mises à jour conduisent au même état d’équilibre, pouvons-nous attribuer une signification physique à un type spécifique de mise à jour?

J’ai vu des commentaires comme: ce modèle est vitreux sous SFD.

Mais cela nous dit-il quelque chose sur les propriétés d’équilibre?

Enfin, certains algorithmes non locaux (appelés algorithmes de vers) peuvent être utilisés pour équilibrer les modèles contraints (tels que les modèles de type glace). Ces «vers» ont-ils une signification physique pour le vrai système physique?

Encore un autre exemple (encore des systèmes de spin) sont les modèles de spin dits facilités, où les excitations à faible énergie sont des mouvements de plaquette non triviaux. Je crois que ces modèles sont vitreux sous la dynamique SFP.

Jahan Claes

Les mouvements à bascule imitent l’échantillonnage thermique réel de la distribution de Boltzmann. Cependant, les mouvements de vers n’ont pas vraiment d’interprétation physique.

Réponses


 surajshankar

On pourrait interpréter les étapes de mise à jour comme des étapes discrètes possibles dans un temps fictif et dans ce cas, les transitions représentent une dynamique sur l’espace d’état d’une chaîne de Markov. À titre d’exemple, il y a la dynamique de Glauber non conservatrice de relaxation et la dynamique de Kawasaki conservant la magnétisation qui sont utilisées pour simuler Ising et les systèmes associés. Le problème est qu’il n’y a pas d’échelle de temps dans le problème (car nous étudions uniquement les systèmes d’équilibre), et à moins que nous ne connaissions a priori les mécanismes impliqués dans la dynamique, les mises à jour de Monte-Carlo sont exactement ce qu’elles sont, un moyen d’échantillonner la phase l’espace d’une manière impartiale. Il est important de comprendre que la « dynamique » ne dicte pas l’équilibre. L’équilibre est fixé par l’ensemble et les observables macroscopiques qui restent fixes, rien d’autre. Ainsi, en principe, l’utilisation de différents schémas de mise à jour vous donnera les mêmes résultats, dans la limite des pas infinis (« temps » MC infini). C’est l’un des principaux problèmes de calcul, décider quand l’équilibre est atteint. Parfois, la dynamique est lente et le système peut être pris dans les minima locaux, ce qui rend la dynamique vitreuse et l’équilibration peut être une tâche difficile (mais en principe, elle est garantie d’être atteinte).

Il existe d’autres moyens plus rapides d’échantillonner l’espace de configuration, qui incluent des algorithmes de cluster et des techniques d’échantillonnage biaisé (qui reproduisent la mesure de Gibbs cependant). Dans ces cas, on travaille généralement avec de plus grands groupes de spins (clusters) ou avec des murs de domaine en évolution. Ces méthodes sont généralement plus rapides car elles impliquent des changements globaux, mais l’échantillonnage et la pondération énergétique donnés à chaque état ne sont pas triviaux.

 

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