Loi d’Ampère de la loi de Biot-Savart pour les courants linéaires avec calcul multivarié

Travailleur autodidacte

Loi d’Ampère de la loi de Biot-Savart pour les courants linéaires avec calcul multivarié


Mon livre, WE Gettys’s Physics , part de la loi de Biot-Savart

B = μ 0 4 π je × r ^ r 2

, c’est à dire

B ( x ) = μ 0 4 π b une je ( t ) × x ( t ) x ( t ) 3 t

B ( X ) = μ 0 4 π une b je ( t ) × X ( t ) X ( t ) 3 t

: [ une , b ] R 3

est une paramétrisation de la trajectoire du courant, pour montrer que le champ magnétique

B

à une distance

R

à partir d’un fil électrique droit infini transportant un courant

je

a la norme

B = μ 0 je 2 π R

et la direction et l’orientation comme indiqué sur la figure

entrez la description de l'image ici

Puis le livre dérive, d’une telle expression du champ magnétique produit par un fil droit infini transportant du courant

je lié

, que, pour un chemin fermé

γ

, La loi circuitale d’Ampère tient sous la forme

γ B d x = μ 0 je lié

γ B X = μ 0 je lié

puis déclare, sans le prouver, qu’une telle formule est valable pour tout courant, non seulement circulant en ligne droite infinie.

J’ai beaucoup cherché sur le web et sur ce site en particulier, mais je ne trouve que des dérivations d’Ampère de la loi Biot-Savart utilisant des intégrations du Dirac

δ

, que je ne connaissais que dans le contexte de l’analyse fonctionnelle dans le cas monodimensionnel où

δ ( X une ) φ ( X ) X = φ ( une )

. Est-il possible, pour le cas particulier des flux de courant linéaires, monodimensionnels (comme le flux de courant paramétré par

dans l’expression de

B

ci-dessus), pour prouver la loi d’Ampère, sous la forme

γ B X = μ 0 je lié

, ou sous la forme

× B = μ 0 J

J

est la densité de courant dont je tirerais la première expression en utilisant le théorème de Stokes, sans utiliser le Dirac

δ

, uniquement en utilisant, disons, les outils du calcul multivarié et de la géométrie différentielle élémentaire? Je remercie chaleureusement tous ceux qui publient ou lient une telle preuve.

Emilio Pisanty

Pour un courant de ligne, la forme différentielle de la loi d’Ampère ne peut évidemment pas être prouvée sans utiliser les deltas de Dirac, car la densité de courant elle-même implique des fonctions delta.

Travailleur autodidacte

@EmilioPisanty Merci beaucoup! La réponse ci-dessous utilise la loi de circuit d’Ampère sous la forme

Emilio Pisanty

Exactement. Mais la question demande également des preuves sans delta de la version différentielle sous un courant de ligne, ce qui est évidemment impossible.

Travailleur autodidacte

@EmilioPisanty

Réponses


 FaDA

Voulez-vous une preuve de la loi d’Ampère? Un livre suit vraiment la façon dont vous l’avez dit. Je pense que ce n’est qu’un exemple plutôt qu’une preuve.

Pour la preuve de la loi Ampère, il n’est pas nécessaire d’utiliser la fonction delta, bien que cette méthode soit plus simple à mon avis. Certains calculs de géométrie suffisent, mais il est plus difficile d’utiliser cette méthode.

L1 est le courant source.

P

est un point de champ à

r 2

dont le champ magnétique nous intéresse, alors nous avons,

B ( P )

selon la loi Biot-Savart

entrez la description de l'image ici

Ensuite, nous calculons l’intégrale de la ligne le long

L 2

en passant

P

.

B ( r 2 ) d l 2 = μ 0 je 4 π ( L 1 ) d l 2 ( d l 1 × r ^ 12 ) r 2 12 = μ 0 je 4 π ( L 1 ) ( d l 2 × d l 1 ) r ^ 12 r 2 12

B ( r 2 ) l 2 = μ 0 je 4 π ( L 1 ) l 2 (