Longueur de corrélation en d> 1 Modèle d’Ising, à température nulle

giulio bullsaver

Longueur de corrélation en d> 1 Modèle d’Ising, à température nulle


J’étudie l’approche de groupe de renormalisation du modèle d’Ising en utilisant comme référence le livre de Cardy « Mise à l’échelle et renormalisation en mécanique statistique ». Je ne peux pas comprendre ce qui se passe dans le cas de la température zéro (et peut-être pour

T < T c

) à la longueur de corrélation

ξ

. Voici mon point:

Comme la température zéro est un point fixe, elle doit être soit

ξ = 0

ou

En réalité

ξ ( { K } ) = 1 / 2 ξ ( { K } )

, mais à un point fixe

{ K } = { K }

(J’utilise la notation de Cardy où

{ K }

désigne l’ensemble de couplage pour la théorie).

Maintenant si

ξ

est fini en dessous de la température critique (comme il est indiqué dans certains livres), disons à

T 0 < T c

ou équivalent

K 0 > K

, il doit être nul à température nulle. Cela peut être déduit de la même manière que cela se fait à la température critique (page 38). Bref, si

n ( K )

est défini comme le nombre de fois où vous devez appliquer le groupe de renormalisation pour obtenir

K 0

à

K

, puis

n ( K )

diverge comme

K

(même chose à dire

T 0

). Donc

ξ ( K )

tend à zéro (il est divisé par deux

n ( K )

fois à partir de

ξ ( K 0 )

).

D’autre part, il me semble qu’il est possible d’évaluer exactement les fonctions de corrélation de spins à deux points dans la limite de température zéro comme suit:

σ ( 0 ) σ ( r ) = { σ } σ ( 0 ) σ ( r ) exp ( β H [ σ ] ) = 2

. Dans le dernier passage, j’ai utilisé qu’à température nulle, seules les deux configurations de spins avec l’énergie la plus faible contribuent à la somme, mais celles-ci sont avec tous les spins vers le haut ou tous les spins vers le bas et

σ ( 0 ) σ ( r ) = 1

. La longueur de corrélation est donc infinie. (et pour l’argument ci-dessus, il devrait être infini pour chaque

T < T c

).

Alors, où est l’erreur?

giulio bullsaver

J’ai oublié ça merci. Mais néanmoins, < sigma (r)> = 0 pour chaque r, car à nouveau à température nulle seules les deux configurations ci-dessus contribuent et ainsi de suite … D’où <sigma sigma> – <sigma> <sigma> = <sigma sigma> = 2. (Je n’ai pas encore eu le temps de lire votre référence mais j’ai l’intention de le faire)

giulio bullsaver

Merci beaucoup, même dur je ne comprends pas bien pourquoi il faut dire que l’état doit être pur (et donc une condition aux limites comme celle que vous dites doit être imposée), et non un mélange des deux pur, cela doit être la solution. Je voterais volontiers pour votre réponse si vous en écriviez une.

Réponses


 Yvan Velenik

La longueur de corrélation en dessous de la température critique peut être définie en utilisant le taux de décroissance exponentielle de la fonction tronquée à 2 points, évalué à l’état pur (je choisirai celle induite par le

+

condition aux limites), à savoir

ξ β ( n ) = lim k 1 k Journal ⟨Σ 0 ; σ [ k n ] + β ,

ξ β ( n ) = lim k 1 k Journal σ 0 ; σ [ k n ] β + ,

n

est un vecteur unitaire

R

et

[ k n ]

est le point de

Z

le plus près du point

k n

dans

R

. J’ai utilisé la notation standard

⟨Σ je ; σ j + β = ⟨Σ je σ j + β ⟨σ je + β ⟨Σ j + β

σ je ; σ j β + = σ je σ j β + σ je β + σ j β +

pour la fonction tronquée à 2 points (la covariance entre les spins). Ici,

β +

désigne l’attente par rapport à l’état de Gibbs (à volume infini) obtenu en prenant la limite thermodynamique avec

+

condition aux limites et température inverse

β

.

Il existe différentes façons de montrer que la longueur de corrélation

ξ β

va en effet à

0

comme

β

. Il est possible que l’une des plus simples (quoique un peu fastidieuses) soit à travers les techniques d’extension de cluster (voir, par exemple, la section 5.7.4 de ce livre ).

Le point principal est que la moyenne des spins devient non nulle en dessous de la température critique, mais les fluctuations autour de cette valeur moyenne deviennent complètement non corrélées dans la limite. Moralement, afin de corréler les fluctuations de deux spins à

je

et

j

, vous devez avoir un contour de Peierls entourant les deux

je

et

j

, et la probabilité de cela va à

0

exponentiellement rapide

β j je

(quand

β > β c

).

Il y a plusieurs raisons pour lesquelles vous devez travailler avec un état pur (ou, plus précisément, une mesure de Gibbs extrême) ci-dessus. L’une est que ce sont les états correspondant à l’équilibre thermodynamique: les seuls pour lesquels toutes les observables macroscopiques prennent des valeurs déterministes, par exemple. Notez que si vous considérez l’état obtenu avec une condition aux limites libre (ou périodique), vous verriez en effet que la fonction tronquée à 2 points se réduit à la fonction habituelle à 2 points,

⟨Σ je ; σ j F r e e β = ⟨Σ je σ j F r e e β

σ je ; σ j β F r e e = σ je σ j β F r e e

et ces quantités ne disparaissent pas

j je

quand

β > β c

(au lieu de cela, il converge vers le carré de la magnétisation spontanée

m ( β )

). Notez également que, même si

σ je β F r e e = 0

, il y a aimantation spontanée dans des configurations typiques: l’attente est nulle uniquement parce que cette aimantation spontanée est

m ( β )

ou

m ( β )

avec probabilité

1 / 2

. En fait, une configuration typique dans le cadre de cette mesure sera typique de la

+

état ou

état avec probabilité

1 / 2

, donc toute façon naturelle de décider de mesurer la longueur de corrélation à partir de configurations sous ces états purs, devrait vous donner la même réponse sous l’état libre. La raison pour laquelle vous ne pouvez pas le faire via la fonction tronquée à 2 points comme ci-dessus est que l’attente commence à mélanger les contributions des deux comportements macroscopiques possibles décrits par les états purs, mais cela ne correspond à rien de physiquement pertinent.

 

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