Matrice de monodromie et équations différentielles

Physique Moron

Matrice de monodromie et équations différentielles


Quelle est la signification de la matrice de monodromie dans le contexte des équations différentielles? J’ai vu quelques articles ( 1 , 2 , 3, etc.) en CFT qui utilisent la méthode de monodromie pour calculer des blocs conformes à grande charge centrale. Quelqu’un peut-il discuter (ou donner quelques références de base) de ce qu’est réellement cette monodromie spécialement dans le contexte de CFT.

Peter Kravchuk

L’utilisation de la monodromie pour calculer les blocs conformes semi-classiques est peut-être due à l’article de Zamolodchikov de 1987 sur les relations de récursivité pour les blocs conformes (bien que l’article lui-même n’explique pas comment il se pose). Je ne suis pas sûr que la dérivation réelle de l’équation différentielle et de la monodromie soit écrite sous une forme compréhensible n’importe où dans la littérature 🙂 Je pensais l’avoir vue quelque part, mais je ne pouvais pas la trouver maintenant. Je peux essayer de récupérer la dérivation un peu plus tard, si vous le souhaitez

Physique Moron

@PeterKravchuk Merci! Veuillez me faire savoir si vous pouvez le récupérer. 🙂

Peter Kravchuk

ok, voici la dérivation. Un peu plus longtemps que je l’espérais. Faites-moi savoir si c’est compréhensible.

Réponses


 Peter Kravchuk

Je vais expliquer comment l’approche monodromique du calcul du bloc conforme semi-classique se pose.

Le but est de calculer le bloc conforme correspondant à l’échange d’opérateur

O

dans la fonction à quatre points

⟨V 1 ( z 1 ) V 2 ( z 2 ) V 3 ( z 3 ) V 4 ( z 4 ) , ( 1 )

V 1 ( z 1 ) V 2 ( z 2 ) V 3 ( z 3 ) V 4 ( z 4 ) , ( 1 )

dans

V 1 V 2 V 3 V 4

canal. Notons ici que puisque nous parlons de quelque chose de complètement déterminé par l’algèbre conforme, nous ne pouvons en fait considérer que le problème holomorphe. Alors voilà

V je

sont les opérateurs formels caractérisés par un poids conforme

h je

.

Maintenant, une certaine reparamétrisation du problème est pratique,

h je = 1 b 2 δ je , h ν = 1 b 2 δ ν , δ je = 1 λ 2 je 4 , δ ν = 1 ν 2 4 , c = 1 + 6 ( b + b 1 ) 2 ,

h je = 1 b 2 δ je , h ν = 1 b 2 δ ν , δ je = 1 λ je 2 4 , δ ν = 1 ν 2 4 , c = 1 + 6 ( b + b 1 ) 2 ,

h ν

est la dimension de l’échange

O

.

Nous considérons maintenant la fonction à 5 points

⟨V ( 1 , 2 ) ( z ) V 1 ( z 1 ) V 2 ( z 2 ) V 3 ( z 3 ) V 4 ( z 4 ) ,

V ( 1 , 2 ) ( z ) V 1 ( z 1 ) V 2 ( z 2 ) V 3 ( z 3 ) V 4 ( z 4 ) ,

V ( 1 , 2 )

est un champ virasoro dégénéré (j’utilise la notation de Di Francesco, je crois). Bien sûr, ce champ n’a pas besoin d’exister dans la théorie, nous ne le considérons que formellement ici, car il reflète les propriétés de l’algèbre conforme. Ce corrélateur satisfait une équation différentielle due à la dégénérescence de

V ( 1 , 2 )

,

[ 1 b 2 2 z 2 + i = 1 4 ( h je ( z z je ) 2 + 1 z z je z je ) ] ⟨V ( 1 , 2 ) ( z ) V 1 ( z 1 ) V