Matrice d’inertie en coordonnées asymétriques

C Marius

Matrice d’inertie en coordonnées asymétriques


On a, disons, la matrice d’inertie d’un objet autour de son centre de gravité:

je p

dans le système de coordonnées (

je , j , k

). Quelle est la matrice d’inertie dans un autre système de coordonnées, disons (

je 1 , j 1 , k 1

) avec

je j k = A je 1 j 1 k 1

[ je j k ] = UNE [ je 1 j 1 k 1 ]

ja72

PS. cela s’appelle une transformation congruente ( en.wikipedia.org/wiki/Matrix_congruence )

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@ ja72 Êtes-vous sûr; en général, c’est une transformation de similitude, ce qui signifie la même chose qu’une congruence dans le cas orthonormal

ja72

Lorsqu’une matrice est transformée avec

C Marius

Ce n’est pas le cas. Je m’intéressais à une transformation générale

Réponses


 WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Pour ce que ça vaut, voici comment vous le calculez à partir de la transformation de l’élan angulaire – j’ai commencé cette réponse hier soir – mais voici comment Martin’s Answer jouerait en déduisant les lois de transformation de l’hypothèse de lois de transformation vectorielle pour l’angulaire l’élan et la vitesse angulaire au lieu de l’hypothèse que l’énergie est une vitesse scalaire et angulaire un vecteur comme dans la réponse de Martin.

La définition du tenseur d’inertie est la transformation linéaire homogène caractérisant un corps qui mappe le vecteur vitesse angulaire au moment angulaire:

L = Je ω (1)

(1) L = je ω

Les vecteurs, par votre définition des symboles, dans cette image se transforment en

X UNE X

. Nous écrivons donc

L = UNE L

, également

ω = UNE ω

, où les vecteurs amorcés sont les composants des nouvelles coordonnées. Substitution en (1) et multiplication des deux côtés par

UNE 1

(naturellement votre transformation est non singulière) donne:

L = A 1 je UNE ω

L = UNE 1 je UNE ω

d’où vous pouvez lire la matrice d’inertie transformée à partir de la définition donnée en (1) et naturellement c’est la même chose que la réponse de Martin.

Martin Ueding

Je viens de réaliser que je me limite aux transformations orthogonales en supposant que les produits scalaires restent invariants. Votre réponse est donc plus fondamentale et ne nécessite aucune hypothèse. Cependant dans le cas

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@MartinUeding Ne vous inquiétez pas, j’ai dû m’occuper de ça un peu avant de clarifier les choses. J’ai commencé avec la définition intégrale de moi et je me suis mis dans le pétrin. Les produits scalaires se transforment en effet parce que vous avez en général un tenseur métrique qui est la matrice d’identité dans le cas orthonormé mais en général c’est une forme bilinéaire symétrique

C Marius

Donc

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@CMarius Oui, vous avez simplement reformulé mon argument, bien que maintenant vous ayez utilisé


 Martin Ueding

On vous donne

UNE

dont une matrice décrivant la transformation linéaire. Cette matrice vous permettra de passer des nouvelles coordonnées (indice 1) aux anciennes coordonnées (pas d’indice).

Ce que vous devez faire maintenant, c’est transformer la matrice d’inertie

je

dans la nouvelle base

je 1

. Voici comment trouver la règle de transformation: l’énergie de rotation est un scalaire (un seul nombre), elle doit donc être la même dans tous les systèmes de coordonnées. C’est

E = 1 2 ω T Je ω .

E = 1 2 ω T je ω .

Tu le sais

UNE

vous fera passer des anciennes coordonnées aux nouvelles coordonnées. Vous obtenez les nouvelles coordonnées des anciennes en utilisant

UNE 1

. Donc

UNE 1 ω

sera le vecteur de vitesse de rotation angulaire dans le nouveau système de coordonnées.

Utilisez l’équation ci-dessus et insérez

UNE UNE 1

dans l’équation énergétique ci-dessus deux fois: entre

ω T

et

je

aussi bien que

je

ω

. Identifiez les vecteurs de vitesse angulaire dans le nouveau système et la nouvelle matrice entre les deux.

Qu’obtenez-vous pour la matrice? Veuillez le faire vous-même avant de consulter le texte ci-dessous :-).


On peut réécrire l’énergie de rotation comme suit:

E = 1 2 ω T Je ω = 1 2 ( A A 1 ω ) T I A A 1 ω = 1 2 ω