Mécanique lagrangienne – petites oscillations autour de la diagonalisation d’équilibre

JonTrav1

Mécanique lagrangienne – petites oscillations autour de la diagonalisation d’équilibre


Dans ma classe de mécanique analytique, on nous a enseigné que les modes normaux de petites oscillations autour de l’équilibre sont donnés par la solution de

p ( ω ) = det ( K ω 2 M ) = 0

p ( ω ) = det ( K ω 2 M ) = 0

K je j = 2 L q je q j

et

M je j = 2 L q ˙ je q ˙ j

, où

L

est le lagrangien du problème, et est la forme

L ( { q je } , { q ˙ je } ) = T ( { q ˙ je } ) V ( { q je } )

, où

je = 1 , . . . , n

,

n

nombre de coordonnées généralisées,

T , V

sont respectivement l’énergie cinétique et l’énergie potentielle.

On nous a dit que

p

aura toujours

n

solutions pour

ω 2

(pourrait être dégénéré), ce qui est dû au fait que

M 1

est inversible, et

M 1 K

est toujours diagonalisable.

Est-ce vrai? Pourquoi est-ce

M 1 K

toujours diagonalisable (dans ce Lagrangien particulier)?

Phoenix87

Observe ceci

Qmécanicien ♦

Suggestion à la question (v2): remplacer la phrase M 1

M 1

est inversible avec M

M

est inversible.


Qmécanicien ♦

Connexes: physics.stackexchange.com/q/78500/2451 et les liens qui s’y trouvent.

Réponses


 Michael Seifert

Les réponses à vos deux questions se résument essentiellement à « parce que l’énergie cinétique n’est nulle que lorsque le système est au repos et positive sinon. » Cependant, la réponse à la deuxième question en particulier pénètre assez profondément dans les mauvaises herbes linéaires-algébriques, alors attachez votre ceinture de sécurité.

1. Pourquoi M

M

inversible?

Il s’agit essentiellement d’une hypothèse sur la forme prise par l’énergie cinétique. En gros, il se produira généralement que si l’une de nos coordonnées change, alors il y aura une certaine énergie cinétique associée à ce changement. Si l’on pense à l’énergie cinétique

T ( q ˙ je )

en fonction des vitesses, nous ne nous attendons pas à ce qu’il y ait des directions « plates » dans l’espace-vitesse; s’il y en avait, cela signifierait que nous pourrions mettre le système en mouvement de telle manière qu’il n’y aurait pas d’énergie cinétique associée à ce mouvement.

Mathématiquement, cette affirmation est renforcée par l’idée que

M

est non dégénéré . Une matrice

M je j

est dégénéré s’il existe un vecteur non nul

v je

Pour qui

j M je j v j = 0

. Cela signifie notamment que

M

a un noyau non trivial, et donc qu’il n’est pas inversible. D’un autre côté, si un tel vecteur existe, alors

je , j M je j v je v j = 0

. Si nous pensons à

v j

comme représentant un vecteur colonne de vitesses, cela impliquerait qu’il y a une « direction plate » dans l’espace des vitesses que nous ne voulons pas: il y a une combinaison de vitesses qui se traduit par une énergie cinétique nulle (puisque

T 1 2 je , j M je j v je v j

). Par conséquent, s’il n’y a pas de directions « plates » dans l’espace de vitesse, nous devons avoir un sens non dégénéré

M

, ce qui signifie qu’il est inversible.

2. Pourquoi M 1 K

M 1 K

diagonalisable?

Alors que nous avions seulement besoin de non-dégénérescence pour la partie ci-dessus

M

obéit généralement à une condition légèrement plus forte que non dégénérée; il est généralement positif défini , ce qui traduit en termes physiques signifie que l’énergie cinétique est toujours positive à moins que le système ne soit au repos, auquel cas il est nul. Mathématiquement, cela se traduit par la condition suivante sur

M

: pour tous les vecteurs

v

,

je , j M je j v je v j 0

, avec égalité uniquement lorsque

v je = 0

.

Depuis

M

est une matrice symétrique, elle peut être diagonalisée; en d’autres termes, il existe une matrice orthogonale (

R T = R 1

) tel que

M ~ = R M R T

M ~ = R M R T

est une matrice diagonale dont les entrées sont les valeurs propres de

M

. De plus – et c’est là que la définition positive entre en jeu – toutes ces entrées sont positives. (Une matrice définie positive symétrique ne peut pas avoir une valeur propre non positive, car cela impliquerait que

M je j w je w j 0

pour le vecteur propre correspondant

w je

.) Cela signifie qu’il existe une autre matrice diagonale

S

qui satisfait

S 2 = M ~ 1 .

S 2 = M ~ 1 .

(Les entrées de

S

sont justes

1 / μ je

, où le

μ je

sont les entrées diagonales de

M ~

, alias les valeurs propres de

M

.) Cela signifie notamment que