Mécanique + Thermodynamique: balle rebondissante

Lagerbaer

Mécanique + Thermodynamique: balle rebondissante


En préparation à un examen, je revisite d’anciennes questions d’examen. Celui-ci semble soigné, mais aussi assez compliqué:

Un ballon de soccer avec Radius

R = 11 c m

est gonflé à une pression de

P = 9 × dix 4 P une

, puis a chuté d’une hauteur de

0,1 m

(distance du sol à la partie la plus basse de la balle) sur un sol dur et rebondit élastiquement.

Question : Trouvez des expressions approximatives pour:

  • Surface de la balle en contact avec le sol
  • Durée pendant laquelle le ballon est en contact avec le sol
  • Force maximale exercée sur le sol

si la masse est

0,42 k g

.

Ma tentative de solution: supposons que la balle est remplie d’un gaz idéal et que le processus est adiabatique. Supposons que la déformation mène à un simple segment sphérique, c’est-à-dire une boule dont une partie est coupée à plat. Cela donne une expression du volume

V

en termes de hauteur du « centre » de la balle,

h

comme

V = 11 6 π R 3 + π 6 h 3

V = 11 6 π R 3 + π 6 h 3

La surface est alors simplement

A = π ( R 2 h 2 )

UNE = π ( R 2 h 2 )

.

Suivant: Le ballon a une énergie potentielle

m g h 0

, qui est complètement converti en énergie interne au point culminant du mouvement. L’énergie interne d’un gaz idéal est

U = 3/2 N k T = 3/2 P V = 3/2 P 0 V γ 0 V 1 γ

U = 3 / 2 N k T = 3 / 2 P V = 3 / 2 P 0 V 0 γ V 1 γ

γ

est le coefficient adiabatique (1,4 pour l’air).

Le changement de

U

en raison d’un changement

V

vient alors complètement de l’énergie potentielle initiale

E

. Quelques algèbres et quelques approximations binomiques sensibles donnent alors une expression simple pour la surface de

A = 32 m g h 9 V 0 P 0 ( γ 1 )

UNE = 32 m g h 9 V 0 P 0 ( γ 1 )

.

En utilisant

F = P UNE

me permet alors de calculer la force maximale.

Mais qu’en est-il du temps de contact? Ma supposition initiale était d’approcher

F ( t )

comme une courbe triangulaire qui va de 0 à

F m une X

et retour à

0

puis l’utiliser

F

est égal au changement de l’élan au fil du temps,

p = F t

, ce qui dans ce cas simple signifierait le changement total de l’élan,

δ p

, serait égal à

1 / 2 F m une X δ t

. Je peux calculer la quantité de mouvement initiale à partir de l’énergie potentielle initiale, et puisque le processus est élastique, le changement de quantité de mouvement est (moins) deux fois cette valeur. Alors je sais tout pour calculer

δ t

.

Je ne suis cependant pas certain de pouvoir appliquer cette loi sur l’élan, car je ne parle pas ici d’un simple point de masse, mais d’un tas de molécules de gaz confinées à un certain volume. C’est aussi pourquoi mon approche standard des questions de mécanique, c’est-à-dire la mécanique lagrangienne, ne semble pas fonctionner: une simple coordonnée décrivant l’ensemble du processus serait

h

, mais quel est le terme cinétique en termes de

h

?

EDIT Je viens de réaliser que ma formule pour la calotte sphérique est fausse, et un peu plus compliquée que je ne le souhaitais: si

h

est la distance entre le centre de la sphère et la base du capuchon, le volume devient

V = 2 3 R 3 h R 2 + h 3 3

V = 2 3 R 3 h R 2 + h 3 3

Si je garde la pression constante, le travail nécessaire pour un changement de volume est

P Δ V

, nous pouvons donc assimiler:

Δ V = E 0 / P

Δ V = E 0 / P

E 0 = m g h

est l’énergie potentielle initiale de la balle.

Le seul problème est que j’ai une équation de troisième ordre pour

h

ce qui, à mon avis, est trop compliqué à résoudre. Mais voyons … laisse

= R h

, alors nous obtenons

V == R 2 3 / 3

et maintenant nous supposons que

R

pour que nous ayons

V R 2

.

Ensuite, nous avons besoin de la surface,

UNE = π ( R 2 h 2 ) = π ( R 2 ( R ) 2 ) 2 π R

où nous utilisons à nouveau

R

.

Brancher certains chiffres donne

UNE 44 c m 2

ce qui équivaut à un rayon de la calotte sphérique d’environ

3.7 c m

.

La force maximale

F m une X

est juste

UNE P 401 N

.

En supposant que la force croît linéairement avec le temps jusqu’à

F m une X

est atteint, puis tombe linéairement à

0

, la variation totale de l’élan au cours du temps de contact

Δ t

est

Δ p = 1 / 2 F m une X δ T

. Le changement de momentum est deux fois le momentum initial, il est donc

Δ p = 2 2 m E 0 = 1/2 2 π E 0 R P Δ t ,

Δ p = 2 2 m E 0 = 1 / 2 2 π E 0 R P Δ t ,

que nous pouvons résoudre pour

Δ t

obtenir

Δ t 9 m s

.

Cela me semble raisonnable.

Réponses


 Carlos

Le problème devient très simple si vous ne considérez que de petites déformations

= R h

et calculer la force

F = P UNE

au premier ordre

. Pour cette commande,

UNE = 2 π R

et

F = ( P 0 2 π R )

, où

P 0

est la pression à l’intérieur de la balle non perturbée (notez que les changements de pression résultant de changements de volume ne contribuent que

).

Dans cette approximation, la force sur la balle est essentiellement une force de rappel élastique

F = k

, avec ‘constante de ressort’

k = 2 π R P 0 6 × dix 4 N / m

.

Le temps de contact est alors la moitié de la période de l’oscillateur:

t c o n t une c t = π m / k 8 m s

(un résultat très raisonnable). Notez qu’en raison de la linéarité, le temps de contact est indépendant de la vitesse de la balle lorsqu’elle touche le sol.

De la conservation de l’énergie, la déformation maximale d’une balle tombée d’une hauteur

H

est

m une X = 2 m g H / k

. La force maximale est

F m une X = k m une X = 2 m g k H

.

 

+, balle, mécanique, rebondissante, thermodynamique

 

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