Modèle d’Ising numérique: algorithme de Swendsen – Wang, théorie de la percolation?

varantir

Modèle d’Ising numérique: algorithme de Swendsen – Wang, théorie de la percolation?


Lorsque vous regardez l’article original de Swendsen et Wang en 1987: « Dynamique critique non universelle dans les simulations de Monte Carlo », il est quelque peu mentionné que l’algorithme proposé utilise la théorie de la percolation et le temps d’autocorrélation est considérablement réduit:

Dans cet article, nous présentons un type de dynamique inhabituel, qui viole l’universalité dynamique et réduit considérablement les temps de relaxation dans la simulation informatique de grands systèmes. Les grands groupes sont modifiés en un seul mouvement, de sorte que le profcess n’est pas local au sens habituel, permettant à z d’être inférieur à la limite inférieure …

Après avoir prouvé la condition nécessaire d’ un équilibre détaillé , ils échangent quelques mots sur l’origine de ce comportement,

Les grappes de percolation se comportent comme des gouttelettes de Fisher et contiennent beaucoup d’informations « .

mais seulement à partir de la publication, je ne peux pas comprendre pourquoi cela fonctionne. J’ai suivi certaines sources, mais évidemment pas la bonne.

Ma question: quelqu’un peut-il décrire comment la théorie de la percolation entre en jeu? Que l’algorithme fonctionne en raison de la condition d’équilibre détaillée n’est pas une surprise, mais que son temps d’autocorrélation est réduit comme cela me semble curieux.

la question suivante serait: quelles sont les principales différences entre l’algorithme de Wolff et celui de Swendsen-Wang? Pour autant que je le vois, Wolff utilise un bon choix de probabilité pour qu’il n’y ait pas de rejet, est-ce vrai?

Yvan Velenik

Si vous voulez comprendre la relation entre l’algorithme de Swendsen-Wang et la percolation, les mots clés pertinents sont la représentation aléatoire en grappes de Fortuin-Kasteleyn et le couplage Edwards-Sokal . Il existe plusieurs analyses mathématiques des propriétés de relaxation de cette dynamique. Voir par exemple la thèse de doctorat de Mario Ullrich et ses références; ce dernier se trouve sur sa page d’accueil .

Robert Rüger

Un petit commentaire sur votre toute dernière question: Il est vrai que l’algorithme de Wolff ne nécessite pas d’étape supplémentaire pour accepter / rejeter le flip d’un cluster. La façon dont les clusters sont construits est déjà parfaite, de sorte qu’il n’est jamais nécessaire de rejeter un flip. Ceci est complètement différent du célèbre algorithme Metropolis, où proposer quoi retourner est relativement simple mais vous avez besoin d’une étape d’acceptation / rejet supplémentaire pour obtenir les probabilités de transition correctes globales.

Réponses


 unym

Pour la transition de phase d’ordre désordre de type ferromagnétique, la longueur de corrélation

ξ

divergent à l’infini lorsque la température approche du point critique. Ce qui se passe physiquement, c’est qu’il y a des amas fractals du même spin avec une taille d’ordre

ξ

qui grandissent à l’infini lorsque la température approche du point critique.

L’algorithme SW est basé sur ce fait pour exploiter le retournement des grappes de percolation à chaque étape pour passer à un état très distinct, mais l’état est encore probablement une fractale de spins avec la même échelle de longueur de percolation. Il peut donc réduire le temps d’autocorrélation de manière significative. La méthode est clairement décrite comme:

En commençant par une configuration arbitraire des états de Potts, créez des liaisons avec une probabilité

p=1exp(K)

entre États voisins avec le même spin.

C’est évidemment un problème de percolation de liaison avec une probabilité

p

sur un réseau de même spin.

L’algorithme de Wolff peut en quelque sorte être considéré comme une généralisation de l’algorithme de Swendsen-Wang. L’algorithme de Wolff fonctionne dans un cas général d’

O(n)

modèle en définissant un spin flip opérateurs pour le cas

n>1

avec un état de spin continu tel que le modèle XY et le modèle Heisenberg. En revanche, l’algorithme de Swendsen-Wang ne peut fonctionner que dans le cas avec des états de spin discrets, c’est-à-dire le modèle de Potts. Notez que l’article de Wolff ne décrit pas comment cela fonctionne dans le cas sans spin opposé (par exemple le modèle de Potts). Ils fonctionnent donc dans des cas différents sauf le modèle d’Ising (

n=1

), mais l’idée est exactement la même en utilisant des grappes de percolation près de la transition de phase pour accélérer l’échantillonnage.

 

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