Moment angulaire total du champ de Dirac libre en termes d’opérateurs de création et d’annihilation

Kaius

Moment angulaire total du champ de Dirac libre en termes d’opérateurs de création et d’annihilation


Lors de la quantification canonique pour le champ Dirac, on commence généralement par étendre le champ sous la forme suivante:

ψ ( x ) = 3 p ( 2 π ) 3 2 E p s { a ( p , s ) u ( p , s ) e i p x + b ( p , s ) v ( p , s ) e je p x } ,

ψ ( X ) = 3 p ( 2 π ) 3 2 E p s { une ( p , s ) u ( p , s ) e je p X + b ( p , s ) v ( p , s ) e je p X } ,

u ( p , s ) e je p X

et

v ( p , s ) e je p X

sont des solutions d’ondes planes à énergie positive et négative à l’équation de Dirac qui sont aussi des spineurs propres d’hélicité avec valeur propre

s

. En imposant une relation anti-commutation à temps égal pour l’opérateur de champ et l’impulsion canonique, on arrive à des relations anti-commutation fermioniques satisfaites par

une ( p , s )

,

b ( p , s )

et leurs conjugués hermitiens, où ils acquièrent une signification physique en tant qu’opérateurs de création et d’anéantissement.

Après avoir introduit une définition sage de ce que signifie le vide, on peut écrire l’expression pour l’hamiltonien, l’élan et la charge du champ en termes de ces opérateurs de création et d’annihilation. Par exemple, l’expression pour l’élan se lit

P μ = 3 p s p μ [ un ( p , s ) a ( p , s ) + b ( p , s ) b ( p , s ) ] .

P μ = 3 p s p μ [ une ( p , s ) une ( p , s ) + b ( p , s ) b ( p , s ) ] .

Cependant, en ce qui concerne l’élan angulaire, les manuels ne semblent vouloir le donner qu’en termes de

ψ ( X )

, c’est à dire,

M μ ν = 3 X   ψ ( x ) [ i ( x μ ν x ν μ ) + 1 2 σ μ ν ] ψ ( x ) ,

M μ ν = 3 X ψ ( X