Obtention de difféomorphismes à partir des conditions aux limites dans Ad S 3 AdS3

dingo_d

Obtention de difféomorphismes à partir des conditions aux limites dans Ad S 3 AdS3


Comme d’habitude, je pose une question sur les conditions aux limites pour AdS

3

, basé sur la thèse de Porfyriadis.

Il résout les équations

Lξgμν

pour AdS

3

métrique, avec des conditions aux limites données qui sont essentiellement des conditions de chute en

r

, puisque nous nous intéressons au comportement asymptotique (comme

r

). Je suis enfin arrivé à la partie où lui, en utilisant l’ansatz pour le difféomorphisme

ξμ=nξnμ(t,ϕ)rn

(

μ=t,r,ϕ

), obtient un ensemble de 6 équations pour les coefficients. J’écrirai le composant de métrique qui a été utilisé pour obtenir l’équation à côté de l’équation, pour clarification:

(tt)ξn1r+l2ξn,tt+ξn2,tt=0, n2

(tr)l4(n+1)ξn+1tl4ξn,tr+3l2(n1)ξn1t+2(n3)ξn3t=0, n3

(tϕ)l2ξn,ϕt+ξn2,ϕtl2ξn2,tϕ=0, n1

(rr)l2(n+1)ξn+1r+(n2)ξn1r=0, n2

(rϕ)l2(n+1)ξn+1r+(n3)ξn3ϕ+l2ξn,ϕr=0, n3

(ϕϕ)ξn1r+ξn2,ϕϕ=0, n2

J’ai compris cela et je comprends comment l’auteur a obtenu cela. Mais comment a-t-il trouvé le

ξr, ξt

, et

ξϕ

Je ne reçois pas:

Il a dit: pour (

rr

) équation, utilisant l’induction en arrière, car pour les grands

n

la série pour

ξr

doit tronquer, on obtient que les composants

ξ2mr=0, m1

, et

ξ2m+1r=0, m1

, donc la forme la plus générale de

ξr

est

ξr=ξ1r(t,ϕ)r+ξ0r(t,ϕ)+O(r1)()

Comment a-t-il obtenu ça? Je veux dire, j’ai essayé de mettre de n = 10 vers n = 2, et pour n = 2 je reçois

3l2ξ3r+0ξ1r=0

Et cela signifie que pour n = même mes termes impairs sont 0, si

n2

?

Je pourrais relier cela au fait que le

ξr=nξnrrn

, et pour n = 2, j’obtiendrai 0, donc seuls n qui sont inférieurs à cela contribueront, car je fais une expansion autour de l’infini. Mais je ne sais pas si j’ai raison à ce sujet. Et comment a-t-il fait d’autres équations? J’ai essayé d’utiliser le même «raisonnement» mais je n’arrive pas à obtenir ce qu’il obtient. Dans les équations (

tr

) et (

rϕ

) il dépose juste le

ξnr

termes. Pourquoi? : Et puis tout d’un coup, il obtient

ξt=ξ0t(t,ϕ)+ξ1t(t,ϕ)1r+O(r2)

ξϕ=ξ0ϕ(t,ϕ)+ξ1ϕ(t,ϕ)1r+O(r2)

Comment?! 🙁 Je suis désespéré 🙁

Qmécanicien ♦

Cela pourrait être pertinent: Glenn Barnich: 2016 Lectures on BMS symmetry .

Réponses


 Brian Moths

Très bien donc pour cette partie, vous avez juste besoin de regarder trois équations:

(rr)l2(n+1)ξn+1r+(n2)ξn1r=0, n2

(rϕ)l2(n+1)ξn+1r+(n3)ξn3ϕ+l2ξn,ϕr=0, n3

(tr)l4(n+1)ξn+1tl4ξn,tr+3l2(n1)ξn1t+2(n3)ξn3t=0, n3

Commençons par le premier:

(rr)l2(n+1)ξn+1r+(n2)ξn1r=0, n2.


Le gars suppose que vous ne continuez pas à avoir des
non nulles

ξnμ

pour arbitrairement grand

n

. En d’autres termes, il doit y avoir un certain

N

pour que

ξmμ=0

pour

m>N

. Supposons maintenant que cette limite supérieure

N

est juste 10.

Puis en regardant le

(rr)

équation pour

n=11

, nous constatons que le terme gauche sur le LHS doit être nul, en raison de la limite supérieure. Ainsi le terme de droite, et donc

ξdixr

doit être nul. De même, le cas

n=dix

nous dit

ξ9r

est zéro.

Maintenant, nous pouvons considérer

n=9

, nous constatons à nouveau que le premier terme est nul, car nous avons déjà établi que

ξdixr

est zéro. Nous continuons à le faire jusqu’à et y compris

n=3

. Nous constatons que

ξmr

est nul pour

m2

, et ainsi

ξr=ξ1rr+ξ0r+...

. Nous serions arrivés à cette conclusion quelle que soit la taille de

N

était.

OK bien. Qu’en est-il du

(rϕ)

équation? Il est

(rϕ)l2(n+1)ξn+1r+(n3)ξn3ϕ+l2ξn,ϕr=0, n3


Nous avons déjà montré que

ξn+1r

et

ξnr

sont nuls pour

n2

, et puisque cette équation ne s’applique qu’à

n3

, nous pouvons supprimer ces termes. L’équation devient alors

(rϕ)(n3)ξn3ϕ=0, n3


Maintenant, en considérant cette équation pour

n4

, nous constatons que

ξmϕ=0

pour

m1

, et ainsi

ξϕ=ξ0ϕ+ξ1ϕ/r+...

.

Considérons enfin le

(tr)

équation:

(tr)l4(n+1)ξn+1tl4ξn,tr+3l2(n1)ξn1t+2(n3)ξn3t=0, n3


Puisque l’équation ne s’applique que pour

n3

, et nous savons

ξnr=0

pour

n3

, nous pouvons simplement ignorer ce terme. L’équation devient

(tr)l4(n+1)ξn+1t+3l2(n1)ξn1t+2(n3)ξn3t=0, n3.


Supposons à nouveau

N=dix

et considérons l’équation pour

n=13

. Ensuite, les deux termes les plus à gauche disparaissent et nous nous retrouvons avec

ξdixt=0

. Procéder avec

n=12

,

n=11

, jusqu’à

n=4

nous dit que

ξmt=0

pour

m1

, et ainsi

ξt=ξ0t+ξ1t/r+...

.

Je pense que ce sont les pièces que vous n’avez pas obtenues. Notez que nous n’avons pas utilisé trois des équations. La prochaine chose que le gars fait est de tirer des informations supplémentaires de ces équations, mais ce n’était pas votre question, je ne pense pas. Si vous avez des questions sur ma réponse, n’hésitez pas à demander.

dingo_d

donc je choisis un nombre (disons n = 5), et je les saisis dans des équations jusqu’à ce que j’obtienne une équation qui me donnera

Brian Moths

oui c’est vrai.

dingo_d

Merci, vous m’avez encore sauvé xD J’ai besoin de comprendre comment ils l’obtiennent afin que je puisse l’utiliser dans le cas 4D avec une métrique Kerr extrême proche de l’horizon qui est plus compliquée, et j’ai un système de 10 équations comme ça. J’espère que je pourrai reproduire leur résultat. Merci encore 🙂

 

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