Opérateur Casimir quadratique de représentations su (3) su (3) de dimension supérieure

Ipsit Panda

Opérateur Casimir quadratique de représentations su (3) su (3) de dimension supérieure


Dans les représentations dimensionnelles supérieures de

su(3)

, quel sera l’opérateur quadratique de Casimir? Est-ce la même que dans les dimensions inférieures ou différent?

ACuriousMind ♦

Qu’entendez-vous par «le même»? Différentes représentations agissent sur différents espaces, et il n’y a pas de notion (évidente) d’égalité pour les opérateurs agissant sur des espaces différents.

Qmécanicien ♦

Réponses


 Cosmas Zachos

Je suppose que vous n’avez pas demandé ce que vous vouliez. La forme d’opérateur
de tous les opérateurs de Casimir est la même que celle indiquée par lionelbrits, et SU (3) en a
deux indépendants , contrairement à SU (2), qui n’en a qu’un, le quadratique. Les deux sont un quadratique et un cubique, inclus ici pour être complet.

Cependant, les valeurs propres de ces opérateurs varient selon la représentation (irréductible) et servent en fait à les distinguer et à les étiqueter / caractériser cf. Pais (1966) .

Tous les états d’une représentation irréductible donnée prennent la même valeur pour chaque opérateur de Casimir, qui sert d’identité dans un espace avec la dimension de cette représentation. En effet, les états d’une représentation donnée sont liés par l’action des générateurs de l’algèbre de Lie et tous les générateurs commutent avec les opérateurs de Casimir.

Pour SU (3), le Casimir quadratique est

C2^=kFk^Fk^

, et le cube est

C3^=jkljklFj^Fk^Fl^

. Les F̂s sont les 8 générateurs normalisés de cette algèbre de Lie.

Les représentations irréductibles de SU (3) sont notées dans la base de Dynkin par

(p,q)

, composé de

p

quarks et

q

antiquarks (dans Young tableaux,

p

est le nombre de colonnes simples et

q

le nombre de colonnes à double case): elles ont la dimension

(p,q)=12(p+1)(q+1)(p+q+2)

.

Par exemple, pour la représentation en triplet,

(1,0)

, la valeur propre de

C^2

est 4/3, et de

C^3

, 10/9.

Plus généralement, pour l’irrep générique

(p,q)

, la valeur propre de

C^2

est

(p2+q3+3p+3q+pq)/3

, ce que je soupçonne était ce que vous demandiez vraiment , ci-dessus.

NB Un aparté à proprement parler: la valeur propre (« coefficient d’anomalie ») du cube,

C^3

, est

(pq)(3+p+2q)(3+q+2p)/18

, une fonction impaire sous l’échange p↔q . Par conséquent, il disparaît pour les représentations réelles, p = q , comme l’adjoint,

(1,1)

, c’est-à-dire que ce Casimir cubique et les anomalies disparaissent pour l’octet, le 27 , le 64 , etc.

QGravity

Comment puis-je calculer le Casimir quadratique pour

Cosmas Zachos

@QGravity: réponse simple mais longue: Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2e éd.), Springer, ISBN 978-3319134666


 lionelbrits

La forme algébrique du casimir quadratique

T2

dépend uniquement des constantes de structure, et sont donc les mêmes dans toute représentation. Comme dans

SU(2)

, bien sûr, sa forme matricielle dépend de la représentation.

Edit: Pour voir pourquoi c’est le cas, supposons que vous avez construit

T2

à partir d’autres éléments de l’algèbre, et vous l’avez fait pour dire, la représentation fondamentale. Il fallait ensuite montrer que

[T2,Tje]=0

pour tous les

Tje

. Bien sûr, vous ne pouvez utiliser que les constantes de structure, c’est-à-dire

[Tje,Tj]=jeFjejkTk

et

{Tje,Tj}=1Nδjej+jejkTk

pour le montrer. Mais cela ne dépend pas de la représentation. Ce sont elles qui définissent l’algèbre, c’est-à-dire ce qui la rend

su(N)

.

Ipsit Panda

pouvez-vous me suggérer n’importe quel matériau pour prouver ce que vous avez dit « La forme algébrique du casimir quadratique T2 ne dépend que des constantes de structure, et est donc la même dans toute représentation »

Cosmas Zachos

Ummm l’algèbre de Lie ne dépend pas de la représentation, mais l’ anticommutateur le fait … En fait, l’expression anticommutatrice que vous avez écrite ne vaut que pour le fondamental.

 

#de, 3, Casimir, dimension?, opérateur?, quadratique,, représentations, su, supérieure

 

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