Opérateurs de projection dans un espace produit direct

Lachy

Opérateurs de projection dans un espace produit direct


Les choses que je suis presque sûr de comprendre: disons que j’ai un hamiltonien une seule particule

H

représenté par un

2

x

2

matrice, il a donc deux états propres

|λ1

et

|λ2

. Je peux définir deux projecteurs sur ces états

P1=|λ1λ1|

et

P2=|λ2λ2|

. Maintenant, si nous regardons un système à 2 particules, l’hamiltonien de la particule 1 dans l’espace du produit direct est

H1=Hje

et l’hamiltonien de la particule 2 est

H2=jeH

. Si je comprends bien, le nouvel espace est divisé par exemple par les 4 états suivants:

|λje|λj

, pour

je,j=1,2

.

H1

aura 4 vecteurs propres qui correspondent aux états propres énergétiques

H1|n=En|n

de la particule 1 dans le système à deux particules. Je peux ensuite construire 4 projecteurs sur ces états qui sont définis de la même manière que ci-dessus, et je les appellerai

Pn

pour

n=1,2,3,4

.

La question: je veux montrer que, pour un état arbitraire dans l’espace vectoriel à deux particules,

PnF(En)|ψ=PnF(H1)|ψ

F(En)

est une fonction des valeurs propres de l’hamiltonien et

|ψ

. Je sais comment faire cela pour un système à une particule, mais je n’ai pas encore l’intuition pour les produits directs et je ne peux pas trouver comment concilier le fait que

H

a 2 états mais

H1

a 4 pour essayer d’exprimer

Pn

en termes de

P1

et

P2

. Je peux développer en termes de base à deux particules

|ψ=je,jcjebj|λje|λj

. Appliquez ensuite le projecteur

|nn|

mais à ce stade, je suis à court d’idées. Existe-t-il un moyen d’écrire les fonctions propres de

H1

en termes de fonctions propres de

H

?

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

juste un petit point:

Lachy

Merci d’avoir souligné cela, je n’ai jamais étudié l’intrication auparavant, donc c’est agréable de voir ce que cela signifie dans sa gloire mathématique.

Lachy

Bon alors, à quoi ai-je réellement affaire ici: un « espace de produit tensoriel » ou un « espace de somme directe »? Je suppose que c’est l’espace du produit tensoriel puisque

Réponses


 yuggib

C’est assez simple. Considérons l’opérateur

H

sur l’espace Hilbert

H

, dans votre exemple simple, il a une résolution spectrale:

H=nEn|nn|.


Chaque valeur propre a une multiplicité 1. Maintenant, les opérateurs

H1

et

H2

sur

HH

ont le même spectre de

H

, mais chaque valeur propre a une multiplicité

jem[H]

, et les vecteurs propres orthonormés seront le produit tensoriel d’un vecteur propre de

H

et un vecteur de la base orthonormée de

H

(dans l’ordre respectif). Les résolutions spectrales sont directement héritées par celle de

H

:

H1=nEn(|nn| 1),H2=nEn(1|nn| ).


Appliquez maintenant la projection sur un vecteur factorisé

ψ1ψ2

par exemple sur

H1

:

|ψ1ψ2ψ1ψ2|H1=nEnψ1,n(|ψ1n||ψ2ψ2|).


Supposons maintenant que

ψ1=m

, où

m

est un vecteur propre de

H

, orthogonal à tous les autres (et normalisé). Alors les produits scalaires de la somme disparaissent en dehors de

n=m

. Vous obtenez ainsi:

(1)|mψ2mψ2|H1=Em|mψ2mψ2|.

Remarque : Observez que j’ai utilisé plus d’une fois le fait que pour les vecteurs factorisés

|ψ1ψ2ψ1ψ2|=|ψ1ψ1||ψ2ψ2|

.

Équation (1) — avec

ψ2

choisi comme élément de la base orthonormée de

H

— est la relation entre les projecteurs et les vecteurs propres de

H1

tu cherches. Ceci est étendu aux fonctions de

H1

car pour toute fonction convenablement régulière

F

,

F(H)=nF(En)|nn|

.

Lachy

J’apprécie beaucoup cette réponse, merci. Il répond exactement et très clairement à ma question avec une belle justification pour chaque étape.

 

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