Opérateurs quantiques: une identité

Junaid Aftab

Opérateurs quantiques: une identité


Je suis tombé sur la propriété soignée suivante:

Pour un opérateur

UNE^

qui est une combinaison linéaire d’opérateurs de création et d’annihilation, nous avons:

eUNE^=eUNE2^/2.

Toute aide pour approcher la preuve de cette identité serait appréciée.

Physique_Plasma

Je n’ai jamais vu cette identité auparavant, mais vous pouvez essayer d’étendre l’exponentielle de Taylor et de voir si les deux parties sont d’accord, terme par terme. C’est l’approche habituelle pour des identités comme celle-ci.

Junaid Aftab

Oui, je l’ai aussi vu pour la première fois dans un journal. Oui, c’est généralement la façon de procéder. Je ne sais toujours pas comment A étant une combinaison linéaire des opérateurs d’échelle forcera l’identité. Je n’ai pas encore travaillé sur les détails.

Physique_Plasma

Si par « une combinaison linéaire d’opérateurs de création et d’annihilation », cela signifie

Réponses


 sagittarius_a

Je m’attends à ce que ce soit le résultat du théorème de Wick. Si vous envisagez une situation d’équilibre avec un hamiltonien quadratique, tous les moments étranges disparaîtront. Ainsi, vous restez avec les mêmes pouvoirs de votre opérateur. Si vous comptez maintenant le nombre de contractions possibles, vous devriez obtenir le résultat correct.

PS: je viens d’essayer et ça marche en effet. Notez l’identité utile

(2n1)!!(2n)!=1n!2n

(ALERTE SPOIL)

Qu’est – ce que

signifie en fait est

B1ZTr{eβHB}

pour un opérateur

B

,

β=1/(kBT)

et

Z=Tr eβH

. Si votre hamiltonien prend maintenant la forme

H=nmunenhnmunem,

alors vous pouvez prouver le théorème de Wick. Soit

αm

être un opérateur de création bosonique ou d’annihilation. Je vais vous épargner les détails mais vous constaterez que

α1α2α2n=tout est possibleappariements παπ(1)απ(2)απ(2n1)απ(2n)

et

α1α2α2n+1=0

. Voici tout ce dont vous avez besoin pour la preuve:

eUNE=(1)n=01n!UNEn=(2)n=01(2n)!UNE2n=(3)n=0(2n1)!!(2n)!UNE2n=(4)n=01n!2nUNE2n=(1)eUNE2/2.

(1) Extension série.

(2) Tous les pouvoirs impairs disparaissent.

(3) Il y a

(2n1)(2n3)(2n5)(2n2n)=(2n1)!!

façons de former

n

paires de

UNE2

au moyen du théorème de Wick.

(4) L’identité d’en haut.

Je n’ai pas vérifié si cela vaut également pour les fermions. Il pourrait y avoir une identité similaire, mais la décomposition de la mèche changera.

Junaid Aftab

Je n’ai aucune idée du théorème de Wick; donc si vous pouviez partager votre solution avec nous tous, ce serait super. J’ai du mal à prouver l’identité de ces types – des opérateurs exponentiels. Donc, ce serait génial si vous pouviez partager votre solution.

sagittarius_a

J’ai étendu ma réponse. Vous pouvez également trouver de nombreuses discussions perspicaces sur le théorème de Wick sur Physics Stack Exchange.

Junaid Aftab

Génial. Je ne sais pas comment vous avez pu exprimer la valeur attendue de l’opérateur en termes de Z, qui ressemble à la fonction de partition, et à la distribution de Boltzmann. J’ai une connaissance très limitée de la mécanique statistique et je ne parviens pas à l’obtenir pour l’instant, même si j’ai essayé de consulter certaines ressources en ligne. J’ai posé cette question plus tôt dans la journée à: physics.stackexchange.com/q/263088 mais je n’ai pas encore reçu de réponse. Si vous pouviez m’aider là-bas, ce serait génial!

sagittarius_a

Comprendre cette formule pourrait être un peu exagéré pour vous en ce moment … Essayez de vous concentrer sur les points que vous ne comprenez pas et allez au cœur de ce que vous ne pouvez pas comprendre. Ensuite, les gens de Stack Exchange peuvent vous aider. Si vous posez une question trop large, personne ne répondra et votre question sera très probablement bientôt close.

Junaid Aftab

Je sais, c’est peut-être le cas, alors j’espérais que quelqu’un ici pourrait me donner un large aperçu de la formule en supposant simplement que je sais ce qu’est une fonction de partition, etc. Personne ne l’a fait jusqu’à présent; si vous le pouvez, ce serait formidable.


 Qmechanic

Astuce: la formule de OP découle d’un théorème de type Wick

(1)T(F(UNE^)) = exp(12C^UNE^UNE^):F(UNE^):


entre la chronologie

T

et ordre normal

::

. Ici

(2)C^ = T(UNE^UNE^)  :UNE^UNE^:


est une contraction.
Voir par exemple
ce poste Phys.SE et les liens qui s’y trouvent.

 

#(une, identité, opérateurs, quantiques

 

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