Période T T d’oscillation avec fonction de force cubique

Colonel trente-deux

Période T T d’oscillation avec fonction de force cubique


Comment pourrais-je trouver la période d’un oscillateur avec l’équation de force suivante?

F(X)=cX3

J’ai déjà trouvé l’équation énergétique potentielle en intégrant à distance:

U(X)=cX44.

Maintenant, je dois trouver une fonction pour la période (en termes de

UNE

, l’amplitude,

m

, et

c

), mais je suis coincé sur la façon d’aborder le problème. Je peux mettre en place une équation différentielle:

m2X(t)t2=cX3,

2X(t)=cX3mt2.

Mais je ne sais pas comment résoudre ce problème. Wolfram Alpha donne une solution particulièrement désagréable impliquant la fonction hypergéométrique, donc je ne pense pas que la solution implique des équations différentielles. Mais je n’ai pas d’autre piste.

Comment trouver la période

T

de cet oscillateur?

Qmécanicien ♦

Problème de type similaire: physics.stackexchange.com/q/60202/2451

Michael Brown

Réponses


 Shuchang

Depuis

12mv2+U(X)=U(UNE)


On a

t=Xv=X2(U(UNE)U(X))/m=Xc(UNE4X4)/(2m)


alors

T4=0T4t=0UNEXc2m(UNE4X4)


Donc

T=40UNEXc2m(UNE4X4)


 ja72

Partant de

12(v(X)2v02)=cmX4

avec la vitesse initiale

v0

lorsque

X=0

, la relation temporelle est

t=0X1v(X)X

J’utilise en variable intermédiaire

ξ

pour la distance

X=2mv02c4ξ

.

J’intègre la relation énergétique pour obtenir

t=0X1v02cX42mX=2mcv0240ξ11ξ4ξ

t=2mcv024ElljeptjecF(péché1ξ,1)

Notez que l’ intégrale elliptique a une expansion sur mesure de

ElljeptjecF(X,m)X+m6X3m30X5+

ce qui rend la solution ci-dessus approximativement (pour les petits déplacements)

t=τ2πpéché1ξ

avec période

τ=2π2mcv024

et solution finale

X=2mv02c4péché(2πtτ)

Trimok

+1, mais je ne suis pas en mesure de reproduire l’étape à partir de l’intégrale d’origine

ja72

Utilisez Alpha pour le confirmer.

 

#de, avec, cubique, d’oscillation, fonction, force, période, T

 

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