Potentiel électrique d’une sphère avec un champ électrique donné

James Machin

Potentiel électrique d’une sphère avec un champ électrique donné


J’étudie pour un cours d’électromagnétisme, et on m’a donné un champ électrique pour lequel j’ai besoin de trouver le potentiel scalaire associé. Le champ est le champ généré par une sphère de rayon

R

à densité de charge constante

ρ

tout au long de son volume, de sorte que la charge totale

Q=4πr3ρ3

contenue dans la sphère est constante.

Le champ électrique est donné par

Edans(r)=Q4πϵ0R3r

et

Een dehors(r)=Q4πϵ0r2

, où le premier est valable pour

rR

et ce dernier pour

rR

. J’ai calculé cela auparavant et je n’ai aucun problème avec. Le potentiel scalaire

ϕ(r)

est défini par

E=ϕ

. Les solutions apportées au problème sont écrites à la main mais je vais les taper ici en utilisant exactement la même notation:

ϕdans=Edansr=Qr28πϵ0R3+C1

ϕen dehors=Een dehorsr=Q4πϵ0r+C2

C’est littéralement toutes les informations que j’ai reçues. Je ne sais vraiment pas ce que sont ces intégrales, ni comment elles découlent de l’équation ci-dessus. Je peux voir que le résultat de la première intégrale par exemple est juste l’intégrale indéfinie

Q4πϵ0R3rr

mais je ne vois pas comment cette étape a été atteinte. Je pense que mon professeur voulait que ce soit un

dans les intégrales mais les a manquées. Même ainsi, je ne peux pas comprendre d’où viennent ces intégrales (c’est-à-dire pourquoi elles donnent le potentiel), ce que ces intégrales signifient, ou (si elles sont effectivement des intégrales de surface) comment les évaluer.

Toute clarification serait très appréciée!

garype

Copie possible de cette question . Dans cette troisième équation, vous voulez probablement dire

James Machin

Huh, j’ai posé la même question dans l’échange de pile de maths et on m’a dit que c’était une intégrale de surface! Eh bien oui, je manque définitivement de connaissances sur la théorie derrière cela, mais ce n’est pas dans mes notes de cours, bien que ce soit une question de ce cours, malheureusement.

James Machin

@garyp Aussi, comment calculer ces intégrales de ligne sans savoir quelle est la courbe?

garype

@BMS a la réponse à cela. Mais si c’est pour un cours E&M, je crains que ce soit une question du tout. Ce sont des choses basiques et importantes qui devraient être bien couvertes. Sinon dans la classe, alors certainement dans un (n’importe quel) manuel. Quelque chose ne va pas avec les conférences, les notes ou le manuel. Prenez cela comme un avertissement que vous pourriez être amené à faire du travail supplémentaire à l’avenir!

James Machin

@garyp Oui, mon calcul n’est vraiment pas à la hauteur, mais cela ne me dérange pas d’apprendre les conditions préalables fondamentales du cours en conjonction avec le contenu du cours – cela rend le calcul moins abstrait. Je dois ajouter que je peux généralement calculer les intégrales de ligne, c’est juste la méthode que j’ai apprise pour calculer les intégrales de ligne qui utilise la paramétrisation de la courbe (c’est-à-dire que je ferais

Réponses


 user22180

En plus de la réponse BMS, je tiens à souligner la partie intégration car j’ai vu, dans les commentaires, que vous avez quelques problèmes dans la partie intégration.

Vous devez d’abord avoir écrit les vecteurs unitaires dans l’expression du champ électrique.

Les champs électriques sont

Edans(r)=Q4πϵ0R3rr^

et

Een dehors(r)=Q4πϵ0r2r^

 

(évidemment, le champ électrique est radialement extérieur en raison de la symétrie de symétrie sphérique)

E=ϕ

Er=ϕr=ϕ

unerEr=unerϕ

ϕ(r)ϕ(une)=unerEr

sur de nombreux chemins possibles, nous allons prendre notre chemin radialement, en raison de la nature conservatrice du champ électrique. donc

r=(rr^)=rr^

, puisque

r^

reste le même dans la direction radiale, on a

r^

= 0, ce ne serait pas le cas si nous avions pris un autre chemin entre les points

une

et

r

.

alors,

unerEjenr=unerQ4πϵ0R3rr^rr^=unerQ4πϵ0R3rr=unerQ4πϵ0R3rr

voir à la dernière étape, le signe vectoriel a été abandonné car l’intégration ne dépend que de r, mais pas de (

θ,ϕ

).

alors,

unerEjenr=Qr28πϵ0R3Qune28πϵ0R3

alors,

ϕjen(r)ϕjen(une)=(Qr28πϵ0R3Qune28πϵ0R3)=Qr28πϵ0R3+Qune28πϵ0R3


ϕjen(r)=Qr28πϵ0R3+Qune28πϵ0R3+ϕjen(une)

ϕjen(r)=Qr28πϵ0R3+C1

où C1 =

Qune28πϵ0R3+ϕ(une)

Remarque: je pense que vous avez un problème avec l’analyse vectorielle. Vous pouvez consulter le « Vector Analysis (Schaum’s Outline) by Spiegel ». C’est un livre excellent.


 BMS

Je ne sais vraiment pas ce que sont ces intégrales

Cette question semble très large et je ne sais pas ce que l’on entend vraiment par cette déclaration. Peut-être que les informations ci-dessous vous aideront.

Je pense que mon professeur voulait que ce soit un ⋅ dans les intégrales, mais il les a manquées.

D’accord. Il suffit de regarder la définition du potentiel électrique pour le voir.

Je ne sais pas […] comment ils découlent de l’équation ci-dessus.

Je vais brièvement décrire les étapes générales. Il est préférable de laisser le grain de sel pour une question plus ciblée.

Nous voulons évaluer l’ intégrale de la ligne

ϕEs


le long d’un chemin, généralement appelé

C

. (Vous verrez des indices sur l’intégrale l’indiquant parfois, comme

C

.) Une question courante lors de l’apprentissage est de demander quel chemin? La réponse est tout chemin entre un point de référence arbitraire (que vous choisissez) et le point

(X,y,z)

à laquelle vous souhaitez évaluer le potentiel. Souvent, les gens choisissent l’infini comme point de référence, ce qui signifie que les physiciens écrivent généralement quelque chose comme

r=

comme limite inférieure. Maintenant, vous n’avez pas à faire ce choix. Si vous faites un choix différent pour le point de référence arbitraire, puis comparez votre résultat final pour le potentiel avec le résultat d’un autre choix, vous constaterez que les résultats ne diffèrent que par une valeur constante.

C’est assez étonnant. (Essayez-le pour vous convaincre.) Maintenant, une façon très intelligente de faire ces intégrales de ligne pour le potentiel est d’écrire l’intégrale indéfinie et de taper sur la constante d’intégration à la fin. C’est ce que votre instructeur a fait.

Une autre façon de voir pourquoi cela fonctionne est de se rappeler qu’au final, nous sommes généralement plus intéressés par le champ électrique

E=ϕ

. Alors, qui se soucie de la constante d’intégration? Il disparaît lorsque vous prenez le dérivé.

Je ne peux pas comprendre d’où viennent ces intégrales (c’est-à-dire pourquoi elles donnent le potentiel), ce que ces intégrales signifient

Ils proviennent de la définition du potentiel électrique

ϕ

. Rien de plus. L’expression potentiel électrique signifie

Es.

Quant à ce qu’une telle intégrale signifie , pas grand-chose. Mais les différences de potentiel électrique (aka tension ou différence de potentiel électrique ) vous disent quelque chose de similaire à l’énergie potentielle par unité de charge. Il existe de nombreuses ressources en ligne ou dans votre manuel sur ce point.

 

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