Pour prouver l’unicité du tenseur de rotation associé à la rotation d’un corps rigide

Dan

Pour prouver l’unicité du tenseur de rotation associé à la rotation d’un corps rigide


Supposons qu’il y ait

N

particules incrustées dans un corps rigide qui subit une rotation aléatoire telle que:

R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ je j a je j = b je j

R ¯ ¯ je j une je j = b je j

où,

J’ai l’intention de prouver que

R ¯ ¯ je j

reste le même pour toutes les combinaisons de

je

et

j

appartenant à l’ensemble

[ 1 , N ]

pour

( je j )

en utilisant la définition la plus fondamentale d’un corps rigide, c’est qu’il s’agit d’une collection de particules qui restent équidistantes les unes des autres.

Une mise à jour sur mes efforts:

En utilisant la définition d’un corps rigide – la distance entre deux particules reste constante, nous pouvons également dire que – le produit scalaire de deux vecteurs quelconques joignant les particules incorporées dans le corps rigide reste le même avant et après la rotation.

Donc, en tenant compte de la

je t h , j t h , k t h

et le

l t h

particule, nous pouvons écrire –

le produit scalaire des vecteurs avant la rotation = le produit scalaire des deux vecteurs après la rotation

une j i a l k = ( R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j i a j i ) ( R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ l k a l k )

une j je une l k = ( R ¯ ¯ j je une j je ) ( R ¯ ¯ l k une l k )

Maintenant, en utilisant la propriété d’isomorphisme canonique du produit tensoriel:

X ( Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y ) = y ( Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ T x )

X ( Z ¯ ¯ y ) = y ( Z ¯ ¯ T X )

Nous avons,

une j i a l k = a l k [ R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ T l k ( R ¯ ¯ ¯ ¯