Pour prouver l’unicité du tenseur de rotation associé à la rotation d’un corps rigide

Dan

Pour prouver l’unicité du tenseur de rotation associé à la rotation d’un corps rigide

Supposons qu’il y ait

N

particules incrustées dans un corps rigide qui subit une rotation aléatoire telle que:

{\bar{\bar{R}}}_{je j} \otimes {\vec{une}}_{je j} = {\vec{b}}_{je j}

où,

J’ai l’intention de prouver que

{\bar{\bar{R}}}_{je j}

reste le même pour toutes les combinaisons de

je

j

appartenant à l’ensemble

[1, N]

pour

(je \neq j)

en utilisant la définition la plus fondamentale d’un corps rigide, c’est qu’il s’agit d’une collection de particules qui restent équidistantes les unes des autres.

Une mise à jour sur mes efforts:

En utilisant la définition d’un corps rigide – la distance entre deux particules reste constante, nous pouvons également dire que – le produit scalaire de deux vecteurs quelconques joignant les particules incorporées dans le corps rigide reste le même avant et après la rotation.

Donc, en tenant compte de la

{je}^{t h}, j^{t h}, k^{t h}

et le

l^{t h}

particule, nous pouvons écrire –

le produit scalaire des vecteurs avant la rotation = le produit scalaire des deux vecteurs après la rotation

{\vec{une}}_{j je} \cdot {\vec{une}}_{l k} = ({\bar{\bar{R}}}_{j je} \otimes {\vec{une}}_{j je}) \cdot ({\bar{\bar{R}}}_{l k} \otimes {\vec{une}}_{l k})

Maintenant, en utilisant la propriété d’isomorphisme canonique du produit tensoriel:

\vec{X} \cdot (\bar{\bar{Z}} \otimes \vec{y}) = \vec{y} \cdot ({\bar{\bar{Z}}}^{T} \otimes \vec{X})

Nous avons,

une ⃗ j i \cdot a ⃗ l k = a ⃗ l k \cdot [R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ T l k \otimes (