Pourquoi ⟨x f r⟩ = 0 ⟨xfr⟩ = 0 mais ⟨x ˙ f r⟩ ≠ 0 ⟨x˙fr⟩ ≠ 0?

BUI Quang-Tu

Pourquoi ⟨x f r⟩ = 0 ⟨xfr⟩ = 0 mais ⟨x ˙ f r⟩ ≠ 0 ⟨x˙fr⟩ ≠ 0?


Tous les

dans cette question est le théorème de la valeur moyenne sur un grand nombre d’expériences.

Considérons une particule brownienne se déplaçant dans un liquide de viscosité

μ

. L’équation du mouvement dans le

X

l’axe est:

m d 2 X t 2 = μ d X t + f r

m 2 X t 2 = μ X t + F r

F r

est une force aléatoire représentant la collision avec les petites molécules dans le liquide.

Multipliez l’équation par

X

nous avons

m d 2 t 2 ( x 2 2 ) m x ˙ 2 = μ d t ( x 2 2 ) + x f r

m 2 t 2 ( X 2 2 ) m X ˙ 2 = μ t ( X 2 2 ) + X F r

Prendre la valeur moyenne et si nous supposons que:

( 1 )

X F r = 0

et

( 2 )

m X ˙ 2 2 = k T 2

nous avons:

m d 2 t 2 ⟨X 2 = μ d t ⟨X 2 + 2 k T μ

m 2 t 2 X 2 = μ t X 2 + 2 k T μ

Ceci est une équation simple pour

X 2

et quand

t

est assez larege que nous avons

X 2 = 2 k T μ t

.

Si nous multiplions l’équation du mouvement par

X ˙

et prendre la valeur moyenne, nous verrons que

X ˙ F r 0

. En fait, c’est le travail moyen par temps effectué par la force aléatoire pour gagner la force visqueuse.

Comment puis-je expliquer intuitivement et simplement pourquoi

X F r = 0

mais

X ˙ F r 0

? La force aléatoire ne semble pas liée à

X

ou

X ˙

Réponses


 Floris

Voici l’explication intuitive:

Lorsqu’une particule se déplace, elle « se heurte » à des choses. Ainsi, la « force aléatoire » de l’impact sur une autre particule n’est pas complètement aléatoire: elle est en partie corrélée au mouvement de la particule avant la collision – la force de l’impact est plus susceptible d’être dans une direction opposée au mouvement actuel que toute autre direction. Et c’est cette corrélation partielle qui signifie que l’attente de

X ˙ F r

ne sera pas nul.

D’un autre côté, il n’y a pas de corrélation entre la position actuelle de la particule et la direction de la force de l’impact suivant – c’est pourquoi l’attente de

X F r

est nul.

BUI Quang-Tu

Je pense que la force opposée à la motion est la force totale. La force aléatoire n’a rien à voir avec la vitesse …

Floris

Le mouvement qui suit la force aléatoire a une composante alignée avec cette force.

BUI Quang-Tu

Ensuite, en utilisant le même argument, il peut y avoir quelque chose de corrélé entre

Floris

Quand je vais dans une certaine direction, je suis plus susceptible d’être frappé de l’avant que de l’arrière … Parce que ma propre dynamique joue un rôle dans l’impact. Ainsi, la force « aléatoire » a une composante non aléatoire, corrélée à ma vitesse.

BUI Quang-Tu

Si frappé de face, la force doit être opposée à la vitesse, donc


 Nikos M.

En mouvement brownien (en utilisant l’ équation de langevin ) le déplacement moyen (net) est nul

X = 0

et depuis la force aléatoire

F r

(généralement un bruit blanc) n’est pas corrélé au déplacement (et a également une moyenne nulle) la moyenne commune

X F r = 0

est également nul.

La corrélation de la vitesse (terme de viscosité de frottement dépendant de la vitesse) et de la force aléatoire est décrite comme telle dans le théorème de fluctuation-dissipation ( référence ):

La force aléatoire (la fluctuation ) est la source et la force motrice de la particule brownienne, est donc également la source du terme secondaire du frottement (frottement, selon la vitesse, la dissipation ), donc ces deux termes doivent être corrélés .

L’expression

X ˙ F r 0

définit exactement cette corrélation entre ces deux facettes du même effet ( fluctuation-dissipation ).

 

˙, =, ⟨x, ⟨x˙fr⟩, ⟨xfr⟩, 0,, F, mais, Pourquoi, r⟩

 

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