Pourquoi le terme spatial pour le gradient contravariant 4 est-il négatif, alors que pour les autres 4 vecteurs, c’est la partie covariante qui est négative spatialement?

ajd138

Pourquoi le terme spatial pour le gradient contravariant 4 est-il négatif, alors que pour les autres 4 vecteurs, c’est la partie covariante qui est négative spatialement?


Le déplacement 4 contravariant est:

X α = ( c t , r )

X α = ( c t , r )

Et le gradient 4 contravariant est:

α = ( 1 c t , )

α = ( 1 c t , )

D’après ce que je peux rassembler jusqu’à présent, d’autres 4 vecteurs contravariants ont tendance à suivre le même modèle que pour le déplacement – ce n’est qu’avec le gradient 4 que la partie spatiale négative apparaît sous la forme contravariante. Quelqu’un peut-il expliquer pourquoi le négatif est dans celui-ci, et non le gradient covariant à la place?

Everiana

À quoi sert la convention de signature

Uldreth

Tout simplement parce qu’en présence d’une métrique, nous pouvons convertir des vecteurs en vecteurs doubles (ou des « vecteurs contravariants » en « vecteurs covariants », si vous insistez) et vice versa, certains objets ont une signification plus naturelle dans certaines « variances » que d’autres. Par exemple le tenseur électromagnétique

Réponses


 Jordan Simba

Pour vous donner une réponse courte et directe. Le gradient est naturellement un objet covariant et il semble que dans la convention du texte que vous lisez, vous travaillez dans un espace-temps de Minkowski (espace-temps plat), avec une métrique g (+, -, -, -) . Je suis sûr que vous avez entendu parler de la « gymnastique Index » à laquelle la métrique est utilisée, comme enseigné dans la plupart des classes.

Ainsi, par définition, le « partenaire » contravariant (en changeant le gradient de covariant -> contravariant) récupérera les signes moins dans les 3 dernières composantes, d’où l’opérateur del négatif.

Pour être honnête, c’est vraiment un problème de convention, en raison des symétries de l’espace-temps de Minkowski (ST) et de sa métrique. Dans Minkowski ST, on peut être légèrement lâche avec ses vecteurs, contra et covariant et s’en tirer avec un permis est cohérent, cependant, dans un espace-temps courbe cette mauvaise pratique entraînera de graves difficultés.

J’espère que cette réponse était suffisante.

 

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