Pourquoi les produits dérivés agissent-ils sur les champs vectoriels d’une feuille du monde?

sol0invictus

Pourquoi les produits dérivés agissent-ils sur les champs vectoriels d’une feuille du monde?


La dérivée covariante d’un vecteur

UNE μ

à un moment donné

X

est défini comme

z UNE μ = z UNE μ + Γ μ ρ σ ( x ) z X ρ UNE σ

z UNE μ = z UNE μ + Γ ρ σ μ ( X ) z X ρ UNE σ

où les symboles grecs sont l’espace-temps (dimension

) et

z

est l’indice d’une coordonnée de feuille de monde

σ

.

Pourquoi le vecteur ne fonctionne-t-il pas

UNE μ

agir comme un scalaire par rapport à la

z

dérivé? Comment puis-je le prouver?

Présumer

UNE μ

dépend de

X μ ( σ b )

, c’est à dire

UNE μ ( X μ ( σ b ) )

.

David Z ♦

J’ai modifié votre question pour la clarifier, mais je ne suis pas sûr à 100% d’avoir bien compris. Si j’ai changé ce que vous vouliez demander, veuillez le modifier à nouveau pour le corriger. Soit dit en passant, nous préférons vraiment que vous ne supprimiez pas votre question et n’en posiez pas de nouvelle. Cette fois, ça va, mais à l’avenir, vous devriez modifier l’ancienne question à la place.

Qmécanicien ♦


sol0invictus

Merci pour l’édition. Je m’excuse pour le désordre avec le post précédent.

Réponses


 Neuneck

C’est la règle de la chaîne:

X F ( y ( x ) ) = y F ( y ( x ) ) X y ( x )

X F ( y ( X ) ) = y F ( y ( X ) ) X y ( X )

Votre champ vectoriel

UNE μ

dépend des coordonnées de la feuille du monde uniquement via les coordonnées de la feuille du monde

X μ

. Ainsi, quand comment

UNE μ

se comporte sous un décalage infinitésimal sur la feuille du monde, vous devez prendre en compte la façon dont

UNE μ

dépend de

z

– c’est

z UNE μ

. Mais vous devez également prendre en compte la façon dont les coordonnées de la feuille de route changent – ce qui est l’élément de connexion.

z UNE μ = z UNE μ  changement dans A μ + Γ μ ρ σ ( x ) z X ρ UNE σ  changement de ce que signifie «  μ « .

z UNE μ = z UNE μ changer UNE μ + Γ ρ σ μ ( X ) z X ρ UNE σ changement de quoi «  μ  » veux dire.

sol0invictus

Donc, si j’avais une quantité

 

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