Pourquoi un potentiel électrique doit-il être réel, mais pas un potentiel en mécanique quantique?

Thomas

Pourquoi un potentiel électrique doit-il être réel, mais pas un potentiel en mécanique quantique?


J’ai donc eu ce problème quand j’ai dû apprendre l’électromagnétisme classique: pourquoi est-ce que nous utilisons des nombres complexes lors du calcul des trucs, mais au final seule la partie réelle est importante (par exemple pour le champ électrique et donc pour le vecteur de poynting )?

En revanche, en mécanique quantique, la partie imaginaire a un rôle à jouer, car la valeur attendue en dépend.

Dans l’introduction de Griffith à la mécanique quantique, je lis:

« Par ailleurs, en électrodynamique, nous écririons la fonction azimutale en termes de sinus et cosinus, au lieu d’exponentielles [complexes], car les potentiels électriques doivent être réels. En mécanique quantique, il n’y a pas une telle contrainte … »

Les potentiels en mécanique quantique n’ont donc pas à être réels. Mais pourquoi pas? Et les potentiels électriques doivent être réels. Pourquoi donc? Et si les potentiels électriques doivent être réels, pourquoi alors travailler avec des nombres complexes et finalement oublier la partie imaginaire? Ou à un autre niveau: quel est le rôle des nombres imaginaires en physique? Je n’ai jamais compris les nombres complexes. Après un certain temps, j’ai pu calculer avec eux, mais je n’ai jamais vraiment compris ce qu’ils SIGNIFIENT. Quelqu’un peut-il aider?

CuriousOne

À quoi Griffiths utilise-t-il un potentiel mécanique quantique complexe dans un livre sur l’électrodynamique (je n’ai jamais aimé le livre, donc je n’en ai pas de copie)? Pouvez-vous donner une citation plus longue? Que l’on n’utilise pas de nombres complexes en électrodynamique est un non-sens complet, c’est sûr, même pour le potentiel électromagnétique. Je parie qu’il les utilise seulement quelques chapitres plus tard.

Robin Ekman

Griffiths fait référence à la fonction d’onde et non à aucun potentiel.

Réponses


 Sean Pohorence

Réponse courte (mais cryptique): des nombres complexes surgissent en mécanique quantique parce que nous aimerions trouver des solutions à l’équation différentielle

XF(X)=cF(X)

qui ne souffle pas comme

X±

.

Longue réponse:

Fondamentalement, le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique remplace les fonctions (observables) et les nombres (états) par des matrices (observables quantiques) et des vecteurs (états quantiques). Les premiers exemples de cela (disons, dans Griffiths) sont où les vecteurs sont des fonctions de valeur complexes et les « matrices » sont des opérateurs différentiels qui agissent sur l’espace de ces fonctions. Comme en mécanique classique, pour donner un sens aux grandeurs mesurées, nous voudrions que les résultats des mesures soient réels, ce qui revient à exiger que les valeurs propres des matrices qui correspondent à nos observables quantiques soient réelles (en d’autres termes, les matrices doivent être hermitiennes). Tant que la réponse finale et mesurée est réelle, il n’y a aucune raison d’exclure l’utilisation de nombres complexes.

Cependant, n’avoir aucune raison d’exclure quelque chose est très différent d’avoir une raison! Alors pourquoi les nombres complexes apparaissent-ils en mécanique quantique? Cela peut probablement être lié, au moins en partie, à la relation entre les opérateurs de position et de momentum. L’opérateur de position n’est pas difficile à expliquer. Si nous prenons la fonction d’onde

ψ

(vraiment, le carré de sa norme,

|ψ|2

) comme une distribution de probabilité nous indiquant où une particule est susceptible d’être, alors l’intégrale

X=X|ψ(X)|2X

mesure la valeur attendue de la position de la particule. Cependant, l’opérateur de momentum

p^=jeX

est plus difficile à interpréter. Une possibilité est que vous sachiez que la quantité de mouvement de la particule (onde) doit être liée à la dérivée de la fonction d’onde. Mais alors vous vérifieriez qu’en raison du signe moins acquis lors de l’intégration par parties, le premier opérateur dérivé

X

n’est pas hermitien (c’est la partie où nous exigeons secrètement que nos fonctions d’onde ne explosent pas comme

X±

). En fait, c’est aussi loin d’avoir de vraies valeurs propres que possible, toutes ses valeurs propres sont purement imaginaires! Bien sûr, nous pouvons résoudre ce problème en multipliant par

je

, mais nous avons dû introduire des nombres complexes dans notre théorie pour ce faire!

De plus, cette définition de

p^

semble presque inévitable. Une fois que vous savez que l’opérateur de position et l’opérateur de momentum doivent avoir un commutateur égal à une constante

[X^,p^]=c

vous avez à peu près forcé

p^

être un opérateur différentiel de premier ordre. La condition hermitienne nous oblige alors à introduire le

je

pour les raisons mentionnées ci-dessus. Nous pouvons donc retracer la présence de nombres complexes dans notre théorie jusqu’à l’exigence que

X^

et

p^

avoir une relation de commutation non nulle. Pourquoi cela est-il nécessaire a également une réponse intéressante, mais je terminerai mes divagations ici!

uhoh

J’ai toujours pensé que cela se résumait à un moyen facile d’éviter d’écrire des termes sin () et cos () tout le temps. Ça ne marchera pas ici?

Sean Pohorence

Peut-être que la différence réside dans le fait que si vous voulez résoudre l’équation

uhoh

OK, pouvez-vous m’aider un peu – où est

Sean Pohorence

Ceci est juste l’équation de valeur propre pour l’opérateur de momentum. Les ondes planes (oubliant pour l’instant les conditions d’intégrabilité carrées) sont les états propres de la quantité de mouvement.

uhoh

OK ouais c’est vrai. Je vais revenir en arrière et lire maintenant. Merci!


 milo

Les nombres imaginaires sont très utiles pour les calculs, mais comme leur nom l’indique – ils sont imaginaires, pas réels. Donc, si vous mesurez quelque chose dans le monde réel , vous ne pouvez vous attendre qu’à obtenir des chiffres réels . Cela est vrai à la fois pour l’électrodynamique et la QM, les valeurs attendues des observables de la mécanique quantique (c’est-à-dire les mesures) se révéleront toujours réelles.

Les nombres imaginaires sont utiles pour décrire les ondes et surgissent naturellement en mécanique quantique.

user129412

Votre point sur les valeurs des attentes est bien sûr pertinent, mais le simple fait que des nombres imaginaires soient utilisés dans les calculs ne les rend pas imaginaires. Je veux dire, selon votre logique, existe-t-il des nombres négatifs? Bien sûr que non. Vous ne pouvez pas avoir un nombre négatif de pommes. Pourtant, en les introduisant, nous pouvons tout d’un coup les utiliser pour résoudre des problèmes que nous n’avons jamais pu résoudre auparavant, ou nous pouvons les résoudre de manière beaucoup plus simple. Mais sont-ils « réels »? « Existent-ils »? Non, ce ne sont que des outils qui nous aident à résoudre des problèmes réels. Mais diriez-vous qu’ils sont imaginaires?

milo

Eh bien, oui, j’aurais peut-être exagéré un peu, mais vous pouvez avoir des nombres négatifs comme résultats naturels des mesures. Pas des mesures de pommes, bien sûr, mais tout ce qui a une direction fonctionne.

user129412

Dans un sens, mais cela ne fonctionne qu’avec un point de référence. Est-il toujours réel si vous devez préciser ce qui est négatif?

milo

Et vous comptez les pommes par rapport à 0 pomme. 3 pommes sont -2 si vous faites référence à 5 pommes. Sont-ils toujours réels?

user129412

En tout état de cause, le fait est que la question de ce qui est réel ou de ce qui ne l’est pas n’est peut-être pas aussi figée, ni même importante à considérer d’ailleurs. Votre argument est correct, bien sûr, que les valeurs des attentes devraient correspondre à ce que nous pouvons mesurer classiquement, que vous pourriez lier au théorème d’Ehrenfests. Et classiquement, nous ne mesurons pas les observables de valeur complexes.

 

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