Pouvons-nous représenter la fonction harmonique simple comme des ondes triangulaires?

Ozi

Pouvons-nous représenter la fonction harmonique simple comme des ondes triangulaires?


Après avoir étudié le sujet récemment, j’ai découvert qu’un simple mouvement harmonique peut bien représenter avec des fonctions sinus et cosinus. Prenons par exemple une oscillation pendulaire qui pourrait ressembler à:

entrez la description de l'image ici

et les équations régissant la motion seraient

entrez la description de l'image ici

Je me suis donc demandé pourquoi un simple mouvement harmonique ne pouvait pas être représenté sous la forme d’ondes triangulaires.Bien que les équations ci-dessus impliquent un moment angulaire, je peux donc me contredire, mais fondamentalement, le temps de vitesse est une fonction sinus:

péché ( x )

péché ( X )

et le gradient représente l’accélération qui augmente et diminue de façon non uniforme.

Et si au lieu de cela vous utilisez

( arcsin ( péché ( x ) )

( arcsin ( péché ( X ) )

Ce qui représenterait une onde triangulaire dont le gradient représenterait que l’accélération accélère et décélère uniformément, ce qui représenterait un mouvement harmonique ou est-il fondamentalement incorrect.

Réponses


 Anonymous

Le mouvement harmonique en physique n’est pas tant défini par une solution périodique que défini par une certaine équation différentielle. L’équation de l’oscillateur harmonique est

X ¨ + k x = 0 ,

X ¨ + k X = 0 ,

k

est une constante. La solution générale à cette équation peut être écrite

x ( t ) = Un péché ( k t ) + B cos ( k t ) ,

X ( t ) = UNE péché ( k t ) + B cos ( k t ) ,

UNE

et

B

dépendent des conditions initiales.

Les sinus et les cosinus tombent tout simplement naturellement de l’équation de base. Les formes d’ondes triangulaires, en revanche, ne sont même pas différenciables au niveau des nœuds, de sorte qu’elles ne sont pas si naturellement régies par une équation différentielle.


 SprocketsAreNotGears

Ce n’est pas possible, car vous verrez si vous dérivez un mouvement harmonique simple à partir des premiers principes. L’équation qui définit le mouvement harmonique simple est:

X ¨ x

X ¨ X

Ceci est étroitement lié à la loi de Hooke, où

F = k X

, où

F

est la force de restauration,

k

est la constante du ressort, et

X

est l’extension à partir de la position d’équilibre. Donc, en considérant que c’est un cas de la loi de Hooke, en notant la 2ème loi de Newton, nous pouvons réécrire ceci comme:

X ¨ + k m x = 0

X ¨ + k m X = 0

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du deuxième ordre. Résolvons-le:

La fonction complémentaire,

X C F

, prend la forme

e λ t

.

Équation homogène:

λ 2 e λ t + k m e λ t = 0

λ 2 e λ t + k m e λ t = 0

λ 2 + k m = 0

λ 2 + k m = 0

λ = ± i k m

λ = ± je k m

x C F = Un cos k m t + B sin k m t

X C F = UNE cos k m t + B péché k m t

Intégrale particulière,

X P je = 0

Donc:

x = A cos ω t + B sin ω t

X = UNE cos ω t + B péché ω t

ω = k m

UNE

et

B

sont trouvés en prenant des conditions aux limites, par exemple At

t = 0 , X = X 0

Par conséquent, un simple mouvement harmonique doit prendre la forme ci-dessus. La valeur pour

ω

variera en fonction du modèle physique pour le mouvement harmonique simple dont vous dérivez, mais la condition

X ¨ X

doit être vrai.

Notez, par des considérations en trigonométrie, l’équation ci-dessus peut être écrite sous des formes alternatives:

x = P cos ( ω t + α )

X = P cos ( ω t + α )

x = Q cos ( ω t + β )

X = Q cos ( ω t + β )

 

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