Première intégrale du problème de Kepler

Smilia

Première intégrale du problème de Kepler


Considérons les mouvements d’une particule bornée qui est sous l’influence de l’interaction gravitationnelle d’une deuxième particule fixée à l’origine

q¨=V(q)


V(q)=μ|q|

.

Habituellement, nous définissons le moment angulaire et le vecteur d’excentricité comme

C: =q×q˙e: =q|q|+1/μp×C

Est-il courant de définir

C

et

e

où le potentiel

V

peut contenir par exemple des termes plus élevés dans le potentiel (comme le terme J2 pour la Terre)?

Serait-ce la manière habituelle de définir des éléments orbitaux pour ce problème de Kepler avec des termes d’ordre supérieur?

Réponses


 Nouilles soba

Oui, il est logique de définir des éléments orbitaux même pour des potentiels avec des termes d’ordre supérieur de

q

, que je renommerai en

r

car il est plus fréquent dans ces types de problèmes.

Exemple: que le potentiel soit donné par

U(r)=μr+hr2

, où

h>0

. Pour les conditions initiales de la particule de masse

m

, avec une position initiale de

T(une,0)

et la vitesse initiale de

v0=μ2unem

dans le sens

ϕ0=π/4

, et laissez la relation entre

h

et d’autres paramètres soient donnés comme

h=38unek

(les paramètres sont choisis pour donner une belle formule de sortie et un graphique), l’équation de l’orbite peut être calculée pour être

r(θ)=une10,5péché(2θ)


et ressemble à ceci:

description de l'image

Sur l’image, vous pouvez voir la position initiale et la vitesse

r0

et

v0

respectivement, ainsi que

rmjen

et

rmuneX

qui correspondent aux périhélies et aux aphélions.

Quant à définir la quantité de mouvement angulaire et le vecteur de Laplace-Runge-Lenz (que vous appelez

e

), puisque le potentiel a une symétrie de rotation (en d’autres termes, la force est centrale), le moment angulaire est conservé (preuve dont je peux inclure si vous le souhaitez), vous pouvez donc le calculer à partir des conditions initiales:

M=r0×v0=munev0péché(π/4)z^=0,5munekz^

Le vecteur LRL est une quantité conservée dans le problème de Kepler, mais dans d’autres, il n’est généralement pas conservé et a une évolution temporelle qui peut être obtenue de manière perturbative. Vous pouvez trouver plus d’informations ici .

Avec des termes d’ordre supérieur, les intégrales du mouvement deviennent généralement très dures ou insolubles, mais même dans le cas où nous avons recours à des calculs numériques, beaucoup d’informations peuvent être obtenues à partir de ces deux vecteurs.

Smilia

Merci pour cette réponse complète. J’ai besoin de travailler un peu pour comprendre, je reviendrai.

 

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