Principe de l’action stationnaire et équation d’Euler-Lagrange

Matthieu

Principe de l’action stationnaire et équation d’Euler-Lagrange


Principe de l’action stationnaire:

Étant donné un système mécanique, il existe une action

S

tel qu’il est extrémitisé, ou

δS=0

, pour le mouvement réel du système.

S=t1t2L(q,q˙,t)t

L

est le lagrangien du système.

Équation Euler-Lagrangienne:

t(Lq˙)=Lq

Ma compréhension que l’extrémum de S implique que l’équation EL est satisfaite.

Ma question est: cela fonctionne-t-il dans l’autre sens? c’est-à-dire étant donné un système mécanique, exige

δS=0

pour son action équivalente à exiger

t(Lq˙)=Lq

pour son lagrangien?


drvrm

Les équations d’Euler-lagranges ne sont qu’une condition nécessaire pour que l’action soit extrême – condition non suffisante – Pour d’autres conditions suffisantes, voir Gelfand et Fomin 2000. Chapitre 5: voir Gelfand et Fomin (2000) Silverman, Richard A., éd. Calcul des variations (Unabridged repr. Ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0486414485. « The Second Variation.Chapitre 6: » Champs. Conditions suffisantes pour un extrême fort « . Des conditions suffisantes pour un minimum fort sont données par le théorème de la p. 148.

Réponses


 AccidentalFourierTransform

La dérivée fonctionnelle d’un fonctionnel

S[q]

par rapport à la fonction

q(t)

est défini comme

δS[q]δq(t)limα0S[q+αδt]S[q]α


δt

est la fonction delta de Dirac centrée sur

t

.

Votre professeur / livre a probablement prouvé que la dérivée fonctionnelle coïncide avec la dérivée d’Euler-Lagrange,

δS[q]δq(t)=t(Lq˙)Lq


ce qui signifie

δS=0

si EL est satisfait. Cela signifie: comme la dérivée fonctionnelle est égale à la dérivée EL, les deux sont nuls ou aucun n’est.

Matthieu

Merci beaucoup pour l’explication concise et claire!

 

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