Principe de relativité et particule ponctuelle dans le champ électromagnétique

Fausto Vezzaro

Principe de relativité et particule ponctuelle dans le champ électromagnétique


Égaliser la version relativiste de la deuxième loi de Newton à la force de Lorentz

t(γumu)=q(E+u×B)


on peut voir qu’une particule ponctuelle (de masse

m

et charger

q

) dans un champ électromagnétique (

E,B

) a une accélération

une=qγum[E+u×B(Eu)uc2]


où je n’utilise ni le formalisme à quatre vecteurs, que je ne connais pas (je parle d’accélération ordinaire), ni les unités de Gauss.
Considérons le habituel

S

système (en mouvement à la vitesse

v

vers positif

X

). Les transformations de Lorentz donnent

u=(uXv1uXvc2,uyγ(1uXvc2),uzγ(1uXvc2))


(

γu

par rapport à la vitesse des particules dans

S

ne doit pas être confondu avec

γ

par rapport à la vitesse de

S

) à partir de laquelle on obtient le facteur gamma de la particule par des mesures S ‘. Après de nombreuses simplifications, nous obtenons

γu=11u2c2=γγu(1βuXβ)


γ=11β2

,

γu=11βu2

,

β=vc

,

βu=uc

et

βuX=uXc

. Mais

E=(EX,γ(EyvBz),γ(Ez+vBy))

B=(BX,γ(By+vc2Ez),γ(Bzvc2Ey))


Maintenant, je pense que si

S

accélération de calcul en utilisant la force de Lorentz avec la vitesse et les champs mesurés par lui, il devrait trouver l’accélération de

S

transformé en utilisant des transformations de Lorentz, par exemple pour

X

composant donne

uneX=uneXγ3(1βuXβ)3

. Mais

qm=qm

, donc

X

composants de

S

et

S

devrait être lié par (j’utilise l’indice

X

pour désigner

X

composante du vecteur entre crochets)

1γu[E+u×B(Eu)uc2]X=1γ3(1βuXβ)31γu[E+u×B(Eu)uc2]X


qui peut être arrangé de cette meilleure façon

γ2(1βuXβ)2 [E+u×B(Eu)uc2]X= [E+u×B(Eu)uc2]X


Substitution de

γ

,

β

,

βuX

et les quantités apprêtées écrites ci-dessus, je m’attends à trouver une identité mais cela ne fonctionne pas: qu’est-ce qui a mal tourné ici?

Réponses


 image

Les transformations de Lorentz sont conçues pour relier les propriétés de la particule dans deux cadres inertiels différents . Lorsque vous essayez de faire une transformation dans un cadre non intertial, par exemple lorsque le facteur de Lorentz

γ=11v2/c2

devient dépendant du temps avec

v=v(t)

alors

Λ   νμ2τ2Xν2τ2(Λ   νμ Xν)

Si vous transformez vos champs E et B avec

γ=γ(t)

, vous calculez l’accélération en S puis la transformez en S ‘(côté gauche). Cela signifie que vous calculez l’ accélération instantanée mesurée par un observateur dans un cadre inertiel à cette seule instance de temps dans laquelle la particule et l’observateur dans S ‘se déplacent à la même vitesse. À proprement parler, cette accélération n’est pas mesurée par rapport à la particule mais par rapport à un observateur différent qui est dans un cadre inertiel.

Si vous utilisez le côté droit et que vous l’assimilez à la force de Lorentz transformée, vous introduisez des forces dites fictives , que vous devriez connaître sous forme de mécanique newtonienne, par exemple les forces centrifuges. C’est le plus proche que vous pouvez obtenir avec une relativité restreinte en décrivant un cadre qui se déplace avec la particule accélérée.

Fausto Vezzaro

Le mouvement de la particule est générique, mais S et S ‘sont tous les deux des cadres inertiels (peut-être que je ne me suis pas précisé, mais il n’y a pas d’observateur en mouvement avec la particule). En ne comprends pas votre formule: je ne connais pas le calcul tensoriel (tôt ou tard je l’étudierai mais de toute façon je n’aime pas du tout le formalisme à 4 vecteurs, ils ne correspondent pas à mon goût, et j’aimerais résoudre le problème sans les utiliser). Je cherche simplement une « preuve » (pour ainsi dire) de la version relativiste de la 2ème loi de Newton (pour autant que je sache d’abord écrite par Planck). Une façon de dire « c’est pourquoi insérer le facteur gamma ici est une bonne idée! ».

image

@FaustoVezzaro: L’analogue classique serait une matrice de rotation dépendante du temps

image

@FaustoVezzaro: En termes simples: pour les transformations non constantes, la différenciation et la transformation ne font pas la navette. Ainsi, les formels usuels pour la transformation d’accélération sont ceux de la 1ère équation de mon commentaire ci-dessus. Je m’attends à ce que lorsque vous écrivez « Maintenant, je m’attends à ce que si S ′ accélération du calcul », vous utilisez en fait la 2ème équation et définissez

Fausto Vezzaro

Ce week-end, j’ai trouvé la réponse: tout simplement ce n’est pas vrai que l’équation finale ne fonctionne pas: elle fonctionne. J’ai honte (pour ma défense je dis que le mauvais calcul est dû à un bug dans le logiciel wxMaxima, j’ai dû résoudre ce très long calcul en mettant le stylo sur papier …!) Mais en même temps je suis content d’avoir montré un manière originale de la 2ème loi de Newton relativiste (un chemin très long avec le calcul mais simple dans ses concepts: Planck a utilisé des lagrangiens et d’autres outils que je ne comprends pas dans ce concours). Maintenant, je demande au modérateur si cette réponse doit être laissée ou supprimée: j’ai résolu mon problème et pour moi, c’est la même chose.

Fausto Vezzaro

Vous étiez le seul à avoir répondu et je vous remercie vraiment de votre intérêt, mais je crains que nous ne soyons pas dans la même longueur d’onde, nous pensons différemment, je n’ai pas compris votre réponse et probablement vous n’avez pas compris mon question, dans laquelle je calcule


 Fausto Vezzaro

Ce n’est pas vrai que l’équation finale ne fonctionne pas: elle fonctionne. Le côté droit est

EX+uyBzuzByEXuX+Eyuy+Ezuzc2uX


Alors que le côté gauche est

γ2(1βuXβ)2[EX+uyBzuzByEXuX+Eyuy+Ezuzc2uX]


où (je n’écris pas

BX=BX

parce que nous n’en avons pas besoin maintenant)

En faisant de la substitution, nous voyons que les deux côtés sont identiques.

Dans le calcul, ils peuvent être utiles ces étapes intermédiaires:

EXuX+Eyuy+Ezuz=EXuX+Eyuy+Ezuz+v(ByuzBzuyEX)1uXvc2

uyBzuzBy=uy(BzvEyc2)uz(By+vEzc2)1uXvc2


J’ai fait cette vérification à la main deux fois, je suis sûr que la dernière équation de ma réponse fonctionne.
J’ai vérifié

y

composant aussi (et sûrement

z

est ok par symétrie).

 

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