Problème de mécanique des sabliers avec l’équation de Bernoulli

panama_jish

Problème de mécanique des sabliers avec l’équation de Bernoulli


Je sais que je pense mal à ce problème, mais je réfléchis depuis un moment et je ne peux pas comprendre quelque chose.

Sur mon robot fluide. examen, j’ai eu un problème qui demandait de déterminer le rayon de la moitié supérieure d’un sablier en fonction de la coordonnée verticale (z), de sorte que le niveau du sablier (z) diminuait constamment à un taux spécifique.

Donc, basé sur la continuité, A1V1 = A2V2 où A1V1 est la zone à la hauteur actuelle du fluide dans le sablier * sa vitesse vers le bas, et A2V2 est la zone * la vitesse vers le bas dans le petit trou où il sortirait vers la moitié inférieure du sablier . Les deux côtés du fluide sont exposés à la pression atmosphérique.

Donc, évidemment, la vitesse doit être plus rapide à la plus petite section transversale, et des relations peuvent être établies pour résoudre le rayon à la hauteur z. Ma réponse consistait à trouver une augmentation de la vitesse du fluide due à la différence d’élévation (z) à travers l’équation de Bernoulli, puis à relier cela à la continuité. Cela m’a cependant fait penser à ce qui se passerait si la section transversale ne change pas et que vous avez un écoulement vertical de fluide dans certains tuyaux avec un changement évident d’élévation, mais que vous avez ensuite à la fois l’entrée et la sortie à la pression atmosphérique. L’équation d’énergie, qui est censée rester constante pour un fluide continu sans pertes, aurait un terme de hauteur différent sans termes de pression ou de vitesse différents. Est-ce parce que ce n’est pas un fluide continu, ou parce que le frottement de la paroi explique finalement la perte de charge du différentiel d’altitude après que le fluide ait suffisamment accéléré?

Désolé si c’est mal formulé, ça n’a pas de sens dans ma tête. Merci beaucoup.

Réponses


 Chester Miller

C’est une très bonne question. Ce que vous vous demandez, c’est pourquoi, lorsque la section efficace est constante, l’équation de Bernoulli ne prédit pas la chute libre.

Cela n’a rien à voir avec la viscosité si le fluide est considéré comme non visqueux. La raison pour laquelle l’équation de Bernoulli ne peut pas être étendue au cas d’une section efficace constante est que la forme habituelle de l’équation de Bernoulli est applicable uniquement à un flux stationnaire, et ce flux n’est pas un flux à l’état stationnaire. Parce que le niveau de fluide change, la vitesse du fluide à toute élévation constante dans le réservoir varie avec le temps. Mais l’équation de Bernoulli habituelle ne prend pas en compte cette partie de l’accélération fluide. Il ne comprend que la partie advective de l’accélération. Si le trou de sortie est petit, l’erreur dans l’utilisation de la forme habituelle en régime permanent de l’équation de Bernoulli n’est pas trop grande. Mais, évidemment pour le cas d’un diamètre constant, ce n’est pas le cas. Pour obtenir une meilleure prédiction, une modification en fonction du temps de l’équation de Bernoulli doit être utilisée qui inclut correctement la partie manquante de l’accélération.

Cette question est très opportune, car, sur un autre site de forum (pas stackexchange), je collabore actuellement avec un autre membre dans une analyse qui quantifie cet effet. Nous entrerons sous peu les détails de notre analyse, ainsi que nos résultats et conclusions.

Gert

Je donne ce +10 car cela fonctionne correctement dans l’effet d’accélération. Il se trouve que je travaillais sur un modèle de siphon vidant un réservoir de section constante (le diamètre constant du tuyau du syphon est considéré comme petit par rapport à la section du réservoir). En première approximation, Torricelli peut être invoqué pour estimer la vitesse d’écoulement du syphon. Mais si le fluide n’est pas non visqueux, la perte de charge dans le siphon ne peut pas être évitée et a un effet définitif sur le temps de vidange total du réservoir.

Chester Miller

@Gert Consultez le dernier message sur le site suivant: physicsforums.com/threads/velocity-of-efflux.868030

Gert

C’est vrai: les livres négligent toujours les accélérations, en supposant qu’elles sont petites et donc Bernoulli s’applique. Mon modèle de siphon suppose également cela. Il serait intéressant de voir comment fonctionne votre modèle si vous ajoutez un terme de perte de charge pour l’écoulement à travers un tuyau plutôt qu’à travers une ouverture à arêtes vives. Suivra ce fil. 🙂


 Gert

Cela m’a cependant fait penser à ce qui se passerait si la section transversale ne change pas et que vous avez un écoulement vertical de fluide dans certains tuyaux avec un changement évident d’élévation, mais que vous avez ensuite à la fois l’entrée et la sortie à la pression atmosphérique. L’équation d’énergie, qui est censée rester constante pour un fluide continu sans pertes, aurait un terme de hauteur différent sans termes de pression ou de vitesse différents. Est-ce parce que ce n’est pas un fluide continu, ou parce que le frottement de la paroi explique finalement la perte de charge du différentiel d’altitude après que le fluide ait suffisamment accéléré?

C’est ce dernier. Pour un liquide tombant à travers un tuyau de section constante, Bernoulli n’a plus de sens et conduit à une impossibilité mathématique sous la forme:

g Δ z = 0

g Δ z = 0

En effet, les deux vitesses aux deux extrémités sont les mêmes (en raison de la continuité) et les deux pressions sont les mêmes (les deux côtés sont à la pression atmosphérique).

En réalité, le fluide qui coule subit une traînée (donnée essentiellement par l’ équation de Darcy-Weisbach ). Cela provoque une perte de tête, de sorte que:

Δ p F ρ = g Δ z

Δ p F ρ = g Δ z

Δ p F

est la perte de pression due aux pertes visqueuses dans le tuyau.

 

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