Produit commandé par le temps de deux produits de champs classés par ordre normal

user115687

Produit commandé par le temps de deux produits de champs classés par ordre normal


Supposons que vous ayez une théorie de champ scalaire avec des opérateurs de champ

ϕ ( X ) = ϕ ( X ) + + ϕ ( X )

qui peut être décomposé en termes d’opérateurs d’anéantissement et de destruction. Laisser

D ( x y ) = < 0 | T ( ϕ ( x ) ϕ ( y ) ) | 0 >

( X y ) = < 0 | T ( ϕ ( X ) ϕ ( y ) ) | 0 >

être le propagateur de ladite théorie. J’essaye de prouver la relation

< 0 | T ( : ϕ ( x ) n :: ϕ ( y ) m 🙂 | 0 > = n ! D ( x y ) n δ n , m .

< 0 | T ( : ϕ ( X ) n :: ϕ ( y ) m : ) | 0 > = n ! ( X y ) n δ n , m .

Ma première tentative de solution a été de brancher les définitions des produits ordonnés dans le temps et ordonnés normaux, d’utiliser la décomposition de

ϕ ( X )

et le théorème multinomial pour exprimer

ϕ ( X ) n

et

ϕ ( y ) m

. Après que cela ne m’ait mené nulle part, j’ai recherché le théorème de Wicks et j’ai essayé de l’utiliser. Mais je ne sais pas quelle est la contraction d’un produit commandé normal avec un produit commandé normal. Je sais que vous pouvez l’utiliser pour des expressions comme

< 0 | T ( : ϕ ( x ) n ϕ ( y ) m 🙂 | 0 > ,

< 0 | T ( : ϕ ( X ) n ϕ ( y ) m : ) | 0 > ,

mais mon problème est évidemment différent de cela. Ensuite, j’ai essayé de prouver la relation par induction complète, qui a échoué parce que je ne pouvais pas exprimer la

( n + 1 )

terme sur le côté gauche en termes de résultat pour le cas

n

. Mon dernier recours a été de résoudre ce problème

n = m = 2

puis travailler mon chemin jusqu’à des pouvoirs arbitraires. J’ai recherché mon problème dans le livre de Peskin et Schröder ainsi que dans Advanced Quantum Mechanics de Schwabel, mais je n’ai rien trouvé que les définitions et les exemples d’introduction. J’ai étudié de près les questions

Je pense à ce problème depuis des jours-homme maintenant et toute aide ou idée, je peux commencer, serait grandement appréciée.

Réponses


 Qmechanic

Conseils:

  1. Le point de départ est la relation à 2 points

    T ( ϕ ( x ) ϕ ( y ) )     : ϕ ( x ) ϕ ( y ) :   =   C ( x , y )   1 , C ( x , y )     ⟨0 | T ( ϕ ( x ) ϕ ( y ) ) | 0⟩ , (1)

    (1) T ( ϕ ( X ) ϕ ( y ) ) : ϕ ( X ) ϕ ( y ) : = C ( X , y ) 1 , C ( X , y ) 0 | T ( ϕ ( X ) ϕ ( y ) ) | 0 ,

    cf. ce poste Phys.SE.

  2. Le théorème de Wick pertinent est un théorème de Wick imbriqué

    T ( : ϕ ( x ) n :: ϕ ( y ) m 🙂   =   exp ( C ( x , y ) ϕ ( x ) ϕ ( y ) ) : ϕ ( x ) n ϕ ( y ) m :

    T ( : ϕ ( X ) n :: ϕ ( y ) m : ) = exp ( C ( X , y ) ϕ ( X ) ϕ ( y ) ) : ϕ ( X ) n ϕ ( y ) m :

      =   r = 0 min ( n , m ) n ! ( n r ) ! m ! ( m