produit scalaire de deux vecteurs en coordonnées polaires sphériques, dois-je convertir en coordonnées cartésiennes?

dkmax

produit scalaire de deux vecteurs en coordonnées polaires sphériques, dois-je convertir en coordonnées cartésiennes?


Pour deux vecteurs

p 1 = ( r 1 , θ 1 , ϕ 1 )

et

p 2 = ( r 2 , θ 2 , ϕ 2 )

Je veux le produit scalaire p1.p2. Cependant, les solutions que j’ai vues impliquent de trouver les composants en coordonnées cartésiennes et de les utiliser pour obtenir le produit scalaire, par exemple

p 1 p 2 = r 1 r 2 s je n θ 1 c o s ϕ 1 s je n θ 2 c o s ϕ 2 + r 1 r 2 s je n θ 1 s je n ϕ 1 s je n θ 2 s je n ϕ 2 + r 1 r 2 c o s θ 1 c o s θ 2

Ma question est, est-il nécessaire de convertir en cartésien? Je pensais qu’en polaire sphérique le produit scalaire serait:

p 1 p 2 = ( r 1 r 2 + θ 1 θ 2 + ϕ 1 ϕ 2 )

Cela donne la mauvaise réponse, donc je sais que je me trompe mais je ne sais pas où?

Réponses


 Luboš Motl

La formule

i = 1 3 p je q je

je = 1 3 p je q je

car le produit scalaire ne vaut évidemment que pour la forme cartésienne des vecteurs. La somme proposée des trois produits des composants n’est même pas dimensionnellement correcte – les coordonnées radiales sont dimensionnelles tandis que les angles sont sans dimension, donc ils ne peuvent tout simplement pas être ajoutés.

On ne peut pas trop simplifier le calcul. Tout au plus, on peut se rendre compte que le produit intérieur ne dépendra que

ϕ 1 , ϕ 2

à travers leur différence

ϕ 1 ϕ 2

car on peut utiliser la symétrie de rotation autour du

z

-axe à définir par exemple

ϕ 2

= 0.

Ce faisant, nous pouvons définir

ϕ 2 = 0

c’est à dire

y 2 = 0

et le produit intérieur se réduit à

X 1 X 2 + z 1 z 2 = r 1 r 2 ( péché θ 1 péché θ 2 cos ϕ 1 + cos θ 1 cos θ 2 )

X 1 X 2 + z 1 z 2 = r 1 r 2 ( péché θ 1 péché θ 2 cos ϕ 1 + cos θ 1 cos θ 2 )

Nous pouvons restaurer le formulaire pour une rotation générale en remplaçant

ϕ 1

dans la formule ci-dessus par

ϕ 1 ϕ 2

pour obtenir le produit intérieur

r 1 r 2 ( péché θ 1 péché θ 2 cos ( ϕ 1 ϕ 2 ) + cos θ 1 cos θ 2 )

r 1 r 2 ( péché θ 1 péché θ 2 cos ( ϕ 1 ϕ 2 ) + cos θ 1 cos θ 2 )

qui est la même que votre formule car

cos ( une b ) = cos une cos b + péché une péché b

.

dkmax

merci d’avoir pris le temps de répondre. très utile. J’ai été surpris d’avoir trouvé les composantes du vecteur en coordonnées cartésiennes afin de calculer le produit scalaire. J’espérais que je pourrais rester en coordonnées polaires sphériques.

Luboš Motl

Vous pouvez calculer le produit scalaire dans les coordonnées polaires, mais vous devez utiliser la bonne formule et la bonne formule est ce que nous avons écrit tous les deux, pas

 

#de, #en, cartésiennes, convertir, coordonnées, deux, Dois-je, polaires, produit, scalaire, sphériques, vecteurs?

 

google

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *