Protocole pour résoudre l’équation de Schrodinger indépendante du temps

Protocole pour résoudre l’équation de Schrodinger indépendante du temps


Juste une courte question sur le protocole pour résoudre l’équation de Schrodinger indépendante du temps pour différents potentiels et les raisons d’accepter et de rejeter des solutions.

Prenez par exemple le potentiel de pas inversé

V(X)=αδ(X).

Pour l’état lié

E<0

, nous recherchons des solutions normalisables (solutions physiquement réalisables) et rejetons les autres. Pour le cas de diffusion

E>0

, aucune des solutions de l’équation de Schrodinger indépendante du temps n’est normalisable, nous travaillons donc uniquement avec le coefficient de réflexion et le coefficient de transmission.

Mais pour la particule libre

Ψ(X,t)=12π+ϕ(k)eje(kXhk22mt)k

nous n’avons que des états dispersés comme solutions pour l’équation de Schrodinger indépendante du temps, mais nous pouvons former une solution générale ci-dessus qui pourrait être normalisable pour un choix approprié de

ϕ(k)

.

Mes requêtes sont essentiellement:

  • Pourquoi rejetons-nous les solutions non normalisables des états liés si, comme dans le cas de la particule libre, la solution générale pourrait encore être normalisable?
  • Aussi, pourrions-nous former une solution générale normalisable pour les états diffusés

Merci.

Réponses


 ACuriousMind

  1. Nous rejetons les états liés non normalisables car ils sont non physiques. Un état lié est (selon une définition) simplement un état propre appartenant au spectre discret de l’hamiltonien. La partie discrète du spectre a toujours associé des états propres dans l’espace de Hilbert (c’est-à-dire dans l’espace des fonctions d’onde normalisables). Les « solutions » non normalisables n’ont rien à voir avec l’opérateur hamiltonien sur notre espace de fonction d’onde de Hilbert, elles appartiennent simplement à un opérateur différentiel de même apparence sur un espace de fonction plus grand.

  2. D’un autre côté, un état de diffusion appartient à la partie continue du spectre – l’image physique étant qu’un état diffusé peut avoir n’importe quelle énergie tant qu’il est au-dessus du seuil pour être « capturé ». La formulation rigoureuse de l’endroit où ces « états » vivent réellement (puisqu’ils ne sont pas normalisables, ils ne sont pas, officiellement, des états – d’une part, ils n’ont aucune densité de probabilité qui leur est associée) nécessite la notion d’ espaces de Hilbert truqués . Et, en fait, vous pouvez en effet former des paquets d’ondes

    ψ(X,t)=ejeEtg(E)ψE(X)E


    pour des fonctions compactes

    g(E)

    qui seront des solutions normalisables à l’équation de Schrödinger dépendante du temps. Pour plus d’informations à ce sujet, voir également cette question .

ACuriousMind ♦

@JohnDoe: L’état non normalisable dispersé est facile à analyser pour son comportement. En raison de la linéarité de l’intégrale, il est simple (mais potentiellement fastidieux) de déduire le comportement des paquets d’ondes, et pour les paquets d’ondes où

 

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