Quand un attracteur est-il significatif?

Kasra Manshaei

Quand un attracteur est-il significatif?


Je suis à l’origine informaticien; j’espère donc que ma question n’est pas anodine. Je travaille avec des séries temporelles et je veux reconstruire l’espace de phase à partir des séries temporelles à partir de versions temporisées des séries temporelles. Pour cela, je dois calculer

m

et

τ

qui sont respectivement la dimension d’intégration et le décalage temporel .

Mais: Aujourd’hui, je voyais des expériences basées sur des aléatoires

m

et

τ

et j’ai vu une topologie dans leur attracteur, après quoi cette question m’est venue à l’esprit:

Quelle que soit la façon dont on choisit

m

et

τ

, si l’attracteur a une topologie significative (c’est-à-dire suivant une forme structurée géométriquement), cela signifie-t-il que cet attracteur pourrait capturer une dynamique significative?

En d’autres termes, supposons que j’ai calculé

m=M

et

τ=T

, mais j’obtiens une forme d’attracteur significative pour un autre

m

et

τ

. Comment puis-je l’interpréter?

Réponses


 Wrzlprmft

Voyons ce qui se passe lorsque vous effectuez des sélections non optimales de

τ

et

m

:

  • Si

    m

    est trop bas, l’attracteur ne sera pas complètement déplié, c’est-à-dire que certaines parties de votre attracteur reconstruit se chevaucheront alors qu’elles ne devraient pas. Cela équivaut à des trajectoires se croisant dans l’espace des phases, ce qui signifie que ce que vous avez reconstruit n’est pas un attracteur approprié ou une reconstruction de l’espace des phases, en particulier ce n’est pas physiquement significatif.

    Exemple: chaque image bidimensionnelle de l’attracteur de Lorenz, par exemple celle-ci .

  • Si

    m

    est trop élevé, il ne se passe rien de mal, sauf que vous avez des dimensions parasites à traiter lors du traitement ultérieur de votre résultat.

    Exemple: vous intégrez l’attracteur d’un oscillateur entraîné et amorti (un cercle) en trois dimensions, au lieu de deux. C’est toujours un cercle.

  • Si

    τ

    est légèrement hors de l’optimum, votre reconstruction ne sera pas optimale pour voir la structure, mais ce sera toujours une reconstruction valide. En fait, le théorème d’intégration de Takens vous donne que presque tous les choix de

    τ

    donne une intégration correcte, si vous ne faites que l’équivalence topologique. L’avantage du optimal 

    τ

    est plutôt que vous pouvez mieux voir la structure de l’attracteur, que les analyses numériques de l’attracteur sont plus réalisables, et que le bruit de mesure et similaire ont un impact minimum sur votre reconstruction.

    Exemple: si vous utilisez un non optimal

    τ

    pour incorporer l’attracteur d’un oscillateur entraîné et amorti, vous n’obtenez pas un cercle, mais des points de suspension. Plus votre éloigné

    τ

    est, le plus plat est les points de suspension. Il est facile de voir que si vos points de suspension sont suffisamment plats et que vous avez un bruit de mesure suffisamment fort, la structure est perdue. De plus, il existe des choix discrets de

    τ

    où les points de suspension s’effondrent en une ligne, ce qui explique pourquoi seulement presque tous les choix de 

    τ

    donne une intégration correcte.

  • Si

    τ

    est loin de l’optimum, il est très probable que vous ayez une intégration correcte au sens topologique, mais la structure de l’attracteur est inutilement compliquée d’un point de vue visuel et une analyse plus approfondie de vos résultats devient plus difficile.

    Exemple: Fraser et Swinney, PRA 33, 1134 (1986) contient quelques exemples illustratifs, en particulier sur la figure 1.

Donc, si vous choisissez

m

et

τ

non optimal, vous pouvez toujours obtenir des résultats significatifs. Gardez à l’esprit que la reconstruction de l’attracteur ne peut dévoiler que la topologie de l’attracteur, et les formes topologiquement équivalentes peuvent être très différentes selon d’autres critères. Enfin, notez qu’il n’y a pas de moyen simple d’obtenir un optimal

τ

et

m

pour les données empiriques – vous ne pouvez pas savoir si vos choix sont bons avant d’avoir réellement regardé les résultats (et même alors, cela peut être difficile à dire).

Kasra Manshaei

Merci pour votre réponse complète 🙂 J’attendrai un peu plus et si personne d’autre n’a fourni une meilleure réponse, j’accepterai la vôtre. Merci encore!


 Lewis Miller

Je ne pense pas que le décalage soit critique. Si vous en sélectionnez une mauvaise, vous devrez peut-être analyser plus de données pour remplir l’espace des phases, mais cela devrait tout de même les générer avec suffisamment de temps. Quant à l’aspect significatif, cela dépend essentiellement de la dimension d’intégration. Habituellement, on utilise la capacité humaine de reconnaissance de formes pour extraire le sens de ces données. Si la dimension d’imprégnation est mal sélectionnée, vous ne voyez qu’une partie de l’espace de phase et cela peut compliquer la reconnaissance des formes.

Le fait qu’il y ait une réelle signification dans cette entreprise dépend du degré d’universalité dans la classe de problème non linéaire que vous étudiez.

 

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