Quantification géométrique de particules identiques

David Bar Moshe

Quantification géométrique de particules identiques


Contexte:

Il est bien connu que la mécanique quantique de

n

particules identiques vivant sur

R 3

peut être obtenu à partir de la quantification géométrique du faisceau cotangent du collecteur

M n = R 3 n Δ S n

, où

Δ

est l’ensemble des coïncidences et

S n

est le groupe de permutation de

n

éléments agissant naturellement sur les copies individuelles de

R 3

, voir par exemple Souriau: Structure des systèmes dynamiques .

T M n

est multiplié par

π 1 ( T M n ) = S n

. Étant donné la structure symplectique canonique sur

T M n

, l’ensemble des quantifications inéquivalentes a une correspondance un à un avec l’ensemble des représentations de caractères du groupe fondamental

H o m ( π 1 ( M n ) , U ( 1 ) ) = Z 2

correspondant à l’identité et aux caractères de parité. Ces quantifications correspondent exactement à la pré-quantification des bosons et des fermions. Les espaces boson et fermion Fock sur le modèle

L 2 ( R 3 )

émerger comme la quantification des espaces de Hilbert correspondant à ces deux possibilités.

De nombreux auteurs ont souligné que la suppression de l’ensemble de coïncidences de l’espace de configuration peut sembler mal motivée physiquement. Le raisonnement standard pour ce choix est que sans le retrait, l’espace de configuration devient un orbifold plutôt qu’un manifold. Certains auteurs indiquent également que sans la suppression, l’espace de configuration est simplement connecté, ce qui ne permet que la quantification de Bose (veuillez consulter, par exemple, l’article réimprimé de YS Wu dans Fractional statistics and anyon supraconductivity de Frank Wilczek .

Ma question:

Existe-t-il des traitements ou des résultats connus du problème de la quantification géométrique de l’espace de configuration en tant que orbifold (sans suppression de l’ensemble de coïncidence), en termes de faisceaux de lignes orbifold, etc.? Les résultats partiels ou les cas spéciaux sont les bienvenus. Cette quantification permet-elle la possibilité de statistiques de Fermi?

David Bar Moshe

@Dan Merci, votre remarque est très utile. Je suppose que le groupe fondamental orbifold devrait être l’objet pertinent pour la quantification orbifold.

Réponses


 Anonymous

Souvent, au lieu de

R 3 n / S n

, vous souhaiterez peut-être résoudre la singularité. Permettez-moi d’expliquer un modèle de jouet où cette résolution apparaît naturellement.

Considérer

n

particules identiques sur

C

avec l’espace de configuration

M n = ( C n Δ ) / S n

. Vous pouvez considérer cet espace comme l’espace de valeurs propres non ordonnées de

n × n

matrices sur

C

, c’est à dire

M n = M une t n ( C ) je une g / g L n ( C )

, où

M une t n ( C ) je une g

est l’espace des matrices diagonalisables avec des valeurs propres distinctes et

g L n ( C )

agit par conjugaison.

Un argument heuristique (qui est précis lorsque l’action de

g

est agréable) montre que

T ( M / g ) T M / / g

, où

/ /

est la réduction hamiltonienne. Dans mon cas, il y a une compactification bien connue de

T M n

appelé l’espace Calogero-Moser

C n

obtenu par la réduction hamiltonienne de

T M une t n ( C )

le long d’une orbite.

Les faisceaux cotangents ont des quantifications naturelles (les fonctions sont remplacées par des opérateurs différentiels sur la base et l’espace de Hilbert est juste

L 2

fonctions sur la base), et la quantification de l’espace Calogero-Moser

C n

est obtenu par une procédure appelée la réduction Hamiltonienne quantique de la quantification de

T M une t n ( C )

.

Pour une référence, voir les conférences d’Etingof http://arxiv.org/abs/math/0606233v4 . Voir en particulier la proposition 2.6. Notez qu’il est plus précis que moi et considère donc l’action de

P g L n ( C )

car il n’a pas de centre.


 Anonymous

Une telle quantification produit les mêmes résultats que la quantification avec l’ensemble de coïncidences supprimé. Voici pourquoi. Considérez la manière canonique d’effectuer une quantification géométrique de

T M

, à savoir:

  • Le regroupement de lignes est trivial
  • La connexion est donnée par la forme canonique 1
  • La foliation lagrangienne a des fibres de

Cela donne la mécanique quantique dans l’image de position

Maintenant, prenez

X = T M n / S n

être l’espace de phase à plis multiples à particules multiples. Bundles de ligne sur

X

sont justes

S n

-groupes de lignes équivalents sur

T M n

. On peut donc prendre le même faisceau de lignes avec l’action de S_n soit triviale soit multipliée par le signe de la permutation. Toutes les autres structures sont invariantes S_n et descendent donc à

X

. Clairement, le résultat est soit des bosons, soit des fermions selon le faisceau de lignes choisi (représentation de

S n

)

EDIT: Il semble qu’il n’y ait pas d’analogue de ce résultat pour les statistiques anyoniques avec dim M = 2. En effet, pour dim M = 2, l’espace de phase des particules hardcore (incidence supprimée) distinctes a déjà un groupe fondamental non trivial.

David Bar Moshe

@Squark Merci pour votre réponse

 

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