Quaternions et 4 vecteurs

Isaac

Quaternions et 4 vecteurs


J’ai récemment réalisé que les quaternions pouvaient être utilisés pour écrire des intervalles ou des normes de vecteurs en relativité restreinte:

( t , i x , j y , k z ) 2 = t 2 + ( i x ) 2 + ( j y ) 2 + ( k z ) 2 = t 2 x 2 y 2 z 2

( t , je X , j y , k z ) 2 = t 2 + ( je X ) 2 + ( j y ) 2 + ( k z ) 2 = t 2 X 2 y 2 z 2

Est-ce utile? Est-il utilisé? Est-ce que ça apporte quelque chose? Ou est-ce juste drôle?

Réponses


 Peter Morgan

L’objet dont vous parlez s’appelle, en mathématiques, une algèbre de Clifford. Le cas où l’algèbre est au-dessus du champ complexe a en général une structure significativement différente du cas où l’algèbre est au-dessus du champ réel, ce qui est important en physique. En physique, dans le cas spécifique des 4 dimensions, en utilisant la métrique de Minkowski comme vous l’avez dans votre question, et sur le domaine complexe, l’algèbre est appelée l’algèbre de Dirac. Une fois que vous avez le nom d’ algèbre de Clifford , vous pouvez les rechercher dans Google, où la première entrée est, sans surprise, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra , qui vous donne une saveur raisonnable de la construction abstraite méthodes que les mathématiciens préfèrent. La page John Baez qui est liée à la page Wikipedia vaut la peine d’être lue (si vous avez passé un an à apprendre tout ce que John Baez a publié au fil des ans, presque toujours avec une clarté inhabituelle et engageante, vous connaissez la plupart des mathématiques qui pourraient être utile pour la physique).

Ce n’est pas tant que les algèbres de Clifford sont drôles. Leur construction quadratique est étroitement liée, souvent étroitement, à de nombreuses autres constructions en mathématiques.

Il y a des gens qui sont enthousiastes à propos des algèbres de Clifford, parfois très ou trop, et beaucoup d’encre a été répandue (les réponses de Joel Rice et Luboš Motl sont plutôt inadéquates à la littérature, sauf que je pense qu’ils ont choisi d’interpréter votre question de manière étroite où j’ai abordé ce que votre construction a mené en mathématiques plus largement), mais il y a beaucoup d’autres poissons dans la mer à admirer.

EDIT: En particulier à la lumière des commentaires de Marek ci-dessous, il faut dire que j’ai interprété la question d’Isaac généreusement. Il y a une erreur quelque peu flagrante dans le PO qui est signalée par Luboš (que j’espère que vous voyez, Isaac). Néanmoins, il existe un type de construction qui est étroitement lié à ce que j’ai choisi de considérer comme l’idée de l’OP, les algèbres de Clifford.

Isaac, voici comment je pense que votre dérivation devrait aller, si nous utilisons simplement des quaternions, en prenant

q = t + je X + j y + k z

,

q 2 = ( t + i x + j y + k z ) ( t + i x + j y + k z ) = t 2 x 2 y 2 z 2 + 2 t ( i x + j y + k z ) .

q 2 = ( t + je X + j y + k z ) ( t + je X + j y + k z ) = t 2 X 2 y 2 z 2 + 2 t ( je X + j y + k z ) .

le

X y , y z , z X

les termes s’annulent bien, mais

t X , t y , t z

les termes ne le font pas, sauf si nous faisons comme Luboš et introduisons le conjugué

q ¯ = t je X j y k z

. Cependant, cela ne fait pas ce que je suppose que vous essayez de faire. Donc, à la place, nous introduisons un quatrième objet,

γ 0

, Pour qui

( γ 0 ) 2 = + 1

, et quels anti-commute avec

je

,

j

, et

k

. Ensuite, le carré de

γ 0 t + je X + j y + k z

est

t 2 X 2 y 2 z 2

. L’algèbre que cela génère est cependant plus que les quaternions, c’est l’algèbre de Clifford

C ( 1 , 3 )

.

EDIT (2): Salut, Isaac. J’y ai trop réfléchi du jour au lendemain. Je pense que maintenant que je me suis trompé, vous ne vous êtes pas trompé. Je pense que tu voulais ton expression

( une , b , c , ) 2

pour signifier le produit intérieur positif défini

une 2 + b 2 + c 2 + 2

. Avec cette lecture, cependant, nous voyons trois structures distinctes, le produit intérieur positif-défini, les quaternions et le produit intérieur de l’espace Minkowski qui émerge de l’utilisation des deux premiers ensemble. Une partie de ce qui m’a donné envie d’introduire une construction différente est que dans le vôtre, l’utilisation des quaternions est redondante, car vous obtiendriez le même résultat que vous avez trouvé remarquable si vous utilisiez simplement

( une , je b , je c , je ) 2

(comme Luboš l’a également mentionné). Même le produit intérieur positif-défini est redondant, dans la mesure où ce qui nous intéresse vraiment, c’est juste le produit intérieur de l’espace Minkowski. De plus, bien sûr, je sais quelque chose qui ressemble et qui est mathématiquement productif depuis plus d’un siècle, et qui peut être construit en utilisant simplement l’idée d’une algèbre non commutative et du produit intérieur de l’espace de Minkowski.

Pour continuer ce qui précède, nous pouvons écrire

γ 1 = je

,

γ 2 = j

,

γ 3 = k

pour les éléments de base quaternioniques, ainsi que l’élément de base

γ 0

, alors nous pouvons définir l’algèbre par les produits des éléments de base de l’algèbre,

γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν

. Alternativement, pour tout vecteur

u = ( t , X , y , z )

nous pouvons écrire

γ ( u ) = γ 0 u 0 + γ 1 u 1 + γ 2 u 2 + γ 3 u 3

, alors nous pouvons définir l’algèbre par le produit pour 4 vecteurs arbitraires,

γ ( u ) γ ( v ) + γ ( v ) γ ( u ) = 2 ( u , v )

, où

( u , v )

est le produit intérieur de l’espace Minkowski. Par conséquent, nous avons

[ γ ( u ) ] 2 = ( u , u )

. Maintenant, tout se passe, à mes yeux, et j’espère au vôtre, plutôt soigné et bien rangé, et bien conforme au formalisme conventionnel.

Marek

« L’objet dont vous parlez … » -> vraiment? Je ne vois pas où il parle des algèbres de Clifford. Sauf, bien sûr, si vous voulez dire

Peter Morgan

Salut Marek. Vous avez bien sûr raison qu’Isaac utilise juste (en partie en utilisant ab ) les quaternions qui, en tant qu’algèbre, sont isomorphes à

Marek

@Peter: oh, vous avez donc interprété son quadruple vecteur comme un vecteur de l’algèbre de Clifford et sa norme comme se rapportant à sa métrique de définition? Très bien alors. Je suis à peu près sûr que ce n’est pas ce qu’Isaac avait en tête mais c’est vrai que cela conduit à

Peter Morgan

@Marek Certainement destiné et espérant élargir les horizons plutôt que de répondre exactement à la question d’Isaac. « Est-ce que ça apporte quelque chose? » invite des horizons plus larges. J’aimerais pouvoir formuler des questions pour que les gens répondent à la question que j’aurais dû poser, pas à ce que j’ai en fait demandé. J’espère que ma réponse lui sera un peu utile.

Peter Morgan

Un vote tardif, il y a 6 heures? Il y a sûrement beaucoup de choses que j’aurais pu faire différemment, mais vous me tenez à un niveau élevé pour dire que « cette réponse n’est pas utile ». Juste curieux.


 Luboš Motl

C’est juste drôle. Notez que votre équation n’utilise en fait aucun quaternion général unique. Vous utilisez uniquement le

je , j , k

unités imaginaires de manière ad hoc pour obtenir trois signes moins chaque fois que vous en avez besoin.

Si vous utilisiez un véritable quaternion

q = t + x i + y j + z k ,

q = t + X je + y j + z k ,

alors le seul invariant bilinéaire réel semi-naturel que vous pouvez construire à partir de celui-ci est

q q ¯ = ( t + x i + y j + z k ) ( t x i y j z k ) = t 2 + x 2 + y 2 + z 2

q q ¯ = ( t + X je + y j + z k ) ( t X je y