Que signifie une formule non définie en physique?

Uys of Spades

Que signifie une formule non définie en physique?


J’essaie de comprendre comment les formules non définies en mathématiques sont liées à la physique. Prenez la formule suivante pour la vitesse terminale.

V Terminal = m g c ρ A

V Terminal = m g c ρ UNE

Disons que nous avons une densité d’air de 0;

ρ = 0

(un aspirateur)

La logique me dit que la particule continuerait d’accélérer et n’atteindrait jamais la vitesse terminale, mais en mathématiques, cette formule ne serait pas définie.

Évidemment, c’est l’un des nombreux exemples de ce qui peut se produire dans les problèmes de physique, mais que signifie réellement indéfini en termes de physique? J’espère que je m’explique clairement.

Kyle Kanos

Hmm, la logique me dit que si vous insérez

Hagen von Eitzen

Plus précisément, il n’existe pratiquement aucun cas de

Réponses


 Robert Stiffler

Oui, la particule continuerait d’accélérer et n’atteindrait jamais une vitesse terminale. Mais ce n’est pas ce que cette équation vous dit. Cette équation vous indique quelle est la vitesse terminale, compte tenu des paramètres de la fonction. Dans le vide, il n’y a pas de vitesse terminale. Ce n’est pas zéro, ce n’est pas l’infini. Une vitesse terminale n’existe littéralement pas et c’est exactement ce que l’équation vous dit.

Uys of Spades

Lorsque vous traitez avec undefined dans une équation, cela vous dit-il que ce que vous essayez de résoudre ne peut pas être résolu parce qu’il n’existe pas avec les paramètres donnés?

Robert Stiffler

Soit il n’existe pas, soit vous n’avez pas suffisamment de contraintes sur le problème pour produire une réponse ou vous avez fait une sorte d’erreur mathématique.

Uys of Spades

Logique. Dans le cas de

Robert Stiffler

À droite, en physique classique, une masse de zéro fait exploser un tas d’équations. En relativité restreinte, les équations sont différentes et des particules sans masse peuvent exister (elles se déplacent toujours à la vitesse de la lumière)

Holographe

Une manière utile de la caractériser de manière bien définie serait en termes de limites: on pourrait dire que la vitesse terminale tend vers l’infini lorsque la densité tombe à zéro.


 Fabrice NEYRET

Comme en mathématiques, vous obtenez le sens physique via la limite: ce n’est pas « indéfini », c’est « aller à l’infini » quand

ρ

passe à 0 par le haut. (qui est le seul moyen dans le monde physique, c’est pourquoi il y est bien défini).

Uys of Spades

À moins que mes calculs ne soient aussi rouillés; rien n’est-il divisé par 0 non défini?

Fabrice NEYRET

« indéfini » vient souvent du fait que vous pouvez argumenter pour plusieurs valeurs différentes (par exemple + infini ou -infinité). Maintenant, la physique (ou tout problème donné) peut rendre l’un significatif et les autres insignifiants. Typiquement pour une densité, une viscosité, une pression, il est logique de voir ce qui se passe lorsque ceux-ci passent d’une valeur positive à une valeur de moins en moins arbitraire proche de zéro. Ensuite, vous pouvez dire que cela donne pratiquement la valeur zéro.

David Z ♦

Je dirais que cela devrait commencer par « Contrairement aux mathématiques », mais sinon je suis d’accord.

David Hammen

@Octopus – L’infini multiplié par zéro n’est pas nul. C’est une forme indéterminée .

David Hammen

@FabriceNEYRET – J’ai ajouté un tout petit peu à votre réponse. J’ai changé « quand


 Jacob Hunter

Le problème ici est que l’existence d’une vitesse terminale dépend de l’hypothèse que la particule se déplace à travers un fluide. Comme les fluides réels n’ont que des densités non nulles positives, le simple fait de brancher 0 rompt cette hypothèse.

On pourrait dire que la limite classique de la vitesse terminale lorsque le fluide approche du vide (c’est-à-dire lorsque la densité s’approche de 0) est l’infini, mais cette limite n’est pas un nombre réel, donc la particule dans le vide n’a pas de vitesse terminale. (Comme indiqué dans les commentaires, si nous tenons compte de la relativité, cette limite devient c , la vitesse de la lumière dans le vide. L’incorporation de la relativité dans la formule rendrait la tâche inutilement compliquée à des fins pratiques.)

Kyle Kanos

Eh bien, la vitesse classique est illimitée, évidemment la relativité dirait

Jacob Hunter

@Kyle Bon point. Modifié pour en tenir compte.


 Anna v

Évidemment, c’est l’un des nombreux exemples de ce qui peut se produire dans les problèmes de physique, mais que signifie réellement indéfini en termes de physique? J’espère que je m’explique clairement.

Les formules mathématiques utilisées pour modéliser les observables physiques sont valables dans des cadres spécifiques, où elles ont ajusté les observations et prédit avec succès de nouvelles observations. Un indéfini ou un infini signifie que le modèle mathématique échoue et qu’un nouveau modèle / théorie de la physique doit être trouvé. Dans votre exemple, le modèle échoue pour la densité 0 et soit une nouvelle formule est nécessaire pour le vide, soit la cible (vitesse terminale) n’a pas de sens dans le vide.

Examiner s’il existe une vitesse terminale dans le vide conduit à la théorie de la relativité restreinte . Une particule dans le vide ne peut jamais atteindre la vitesse de la lumière, et c’est un tout nouveau modèle de comportement des particules qui a été validé d’innombrables fois.

Les particules élémentaires sont des particules ponctuelles, l’infini du potentiel électrique 1 / r à r = 0 est classiquement désamorcé par le développement de la mécanique quantique, un tout nouveau cadre sous-jacent à toute la nature.

Les mathématiques indéfinies indiquent donc de nouvelles théories / modèles nécessaires.

Cort Ammon

+1 Les formules mathématiques sont des modèles, rien de plus! Ils ne contrôlent pas la réalité, ils la prédisent et ils peuvent la prédire imparfaitement!


 docscience

Votre question est en effet très claire, un bon exemple, et touche au cœur de la physique – pouvoir définir, prédire le monde à l’aide de modèles mathématiques. Mais vous devez vous assurer que vos modèles sont corrects – et complets.

Fabrice et Robert ont raison – la vitesse ira à l’infini sans contraintes. Et il y a la clé de ce qui se passe en tant qu’interprétation physique – les contraintes . L’équation que vous citez est la solution à l’état stationnaire – vitesse d’une petite masse accélérant vers un corps plus grand avec une accélération gravitationnelle g, avec une aire projetée,

UNE

, et dans une atmosphère de densité

ρ

.

Supprimez l’atmosphère, et comme vous le dites, il n’y a plus de force de traînée, et donc le modèle dynamique initial à partir duquel vous avez dérivé cette formule d’état stationnaire est différent . Mais quand tu laisses

ρ

aller à zéro, cela vous donne (presque) la bonne réponse. Je dis presque parce que l’équation que vous citez n’est pas complète sans une équation supplémentaire: celle qui contraint le chemin des corps attirants au point où ils entrent en collision – une limite stricte. Les choses ne peuvent pas tomber pour toujours – elles finissent par toucher le sol. C’est la physique réelle et complète de la question.

Une mise en garde: «Les choses ne peuvent pas tomber éternellement», cela pourrait ne pas être vrai pour un trou noir. Le temps et l’espace sont tellement déformés qu’il peut falloir une éternité à l’objet pour atteindre la singularité selon les horloges à l’extérieur du trou noir. Mais cette physique nécessite des mathématiques supplémentaires pour modéliser le comportement.


 Mason Wheeler

Cela signifie essentiellement « la question est absurde, alors ne posez pas. »

Par exemple, dans ce cas particulier, nous essayons de trouver la vitesse terminale. La vitesse terminale est la vitesse à laquelle l’accélération due à la gravité et à la résistance au vent s’annule. S’il n’y a pas d’atmosphère pour fournir une résistance au vent, alors par définition, une telle vitesse ne peut jamais exister, et il n’y a donc aucun moyen de définir quelle serait la vitesse terminale dans une telle situation.

Poulpe

Mais il a demandé. Et vous avez compris sa question.

Kevin Reid

Peut-être pourrait-il être mis à la place comme «La réponse n’est pas un (vrai) nombre.


 Floris

L’équation que vous avez donnée est une approximation d’une situation où

ρ

est non nul et la gravité est constante , et représente la limite de vitesse qui serait approchée par un objet (note – cette valeur ne serait jamais atteinte, juste approchée).

Le temps qu’il faut pour y arriver peut également être calculé (là encore en supposant une densité et une gravité constantes). Les équations ont un « temps caractéristique »

τ = v t g

en eux – en d’autres termes, le concept de « vitesse terminale » n’a même pas de sens avant un temps égal à plusieurs

τ

a passé.

Quelques points à noter ensuite:

  • la gravité n’est pas constante: et si vous calculez la vitesse atteinte par un objet en chute libre depuis « l’infini » et que vous supposez que toutes les frictions dues à la traînée atmosphérique sont nulles, l’objet atteindra une vitesse d’environ 11 km / s seulement – c’est toute l’énergie potentielle convertie en cinétique.

  • avec la traînée présente, un objet devra tomber pendant une durée égale à plusieurs

    τ

    pour se rapprocher encore de la vitesse terminale (pour que l’accélération ralentisse).

  • à des vitesses extrêmes, les effets relativistes commenceraient à jouer un rôle

Aucune de ces choses n’est prise en compte dans votre traitement simple de l’équation de vitesse terminale.

Lorsqu’une équation physique nous donne ce qui semble être une réponse absurde, cela signifie généralement que notre compréhension (ou description) de la physique décrite par l’équation est incomplète. Un exemple célèbre de cela a été la catastrophe des ultraviolets – dont la résolution a été un facteur important dans la formulation de la mécanique quantique.

 

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