Quelle est la forme fermée de la somme relative au DOS du mouvement harmonique simple?

Roger209

Quelle est la forme fermée de la somme relative au DOS du mouvement harmonique simple?


Afin de calculer la densité des états d’une seule particule dans le potentiel harmonique simple, nous calculerions que

D ( ϵ ) = n δ ( ϵ ϵ n )

( ϵ ) = n δ ( ϵ ϵ n )

ϵ n = ( n + 1 / 2 ) ω

. Dans la limite

ω 1

, nous constatons que

D ( ϵ ) 1 ω θ ( ϵ ) .

( ϵ ) 1 ω θ ( ϵ ) .

Mais je veux savoir comment calculer la

( ϵ )

exactement au moyen d’une fonction spéciale par exemple.

Réponses


 Jon

Il existe une manipulation formelle qui peut répondre à votre question en utilisant des formules bien connues. Alors laissez-moi écrire

ϵ n = ( 2 n + 1 ) ϵ 0

ϵ n = ( 2 n + 1 ) ϵ 0

étant

ϵ 0 = ω / 2

et

δ ( ϵ ϵ n ) = + t 2 π e i ( ϵ ϵ n ) t .

δ ( ϵ ϵ n ) = + t 2 π e je ( ϵ ϵ n ) t .

Ensuite,

D ( ϵ ) = + t 2 π e i ϵ t n = 0 e i ( 2 n + 1 ) ϵ 0 t

( ϵ ) = + t 2 π e je ϵ t n = 0 e je ( 2 n + 1 ) ϵ 0 t

où j’ai officiellement échangé la somme avec l’intégrale (juste une de mes étapes mathématiques encore à justifier). La somme ne converge normalement pas. Par exemple, si nous tronquons le spectre à

n = k

on obtient

n = 0 k e i ( 2 n + 1 ) ϵ 0 t = e i ( 3 + 2 k ) ϵ 0 t e je ϵ 0 t e i 2 ϵ 0 t 1

n = 0 k e je ( 2 n + 1 ) ϵ 0 t = e je ( 3 + 2 k ) ϵ 0 t e je ϵ 0 t e je 2 ϵ 0 t 1

que pour le devenir exponentiel

1

donne que la somme va à l’infini comme

k

. Mais les physiciens ont beaucoup de ressources pour faire face à ces situations. Nous pouvons recourir à l’une des techniques du livre de Hardy et introduire un facteur de convergence dans la série comme

n = 0 e i ( 2 n + 1 ) ϵ 0 t δ n = e δ + i ϵ 0 t e 2 i ϵ 0 t + e δ

n = 0 e je ( 2 n + 1 ) ϵ 0 t δ n = e δ + je ϵ 0 t e 2 je ϵ 0 t + e δ

et la limite

δ 0

donne le résultat que nous voulions. Alors enfin

D ( ϵ ) = + t 4 π je e i ϵ t 1 péché ϵ 0 t

( ϵ ) = + t 4 π je e je ϵ t 1 péché ϵ 0 t

c’est le résultat final à condition d’ajouter une règle pour contourner tous les pôles résultant de la fonction sinus au dénominateur (voir ci-dessous). Notez juste que pour

ϵ 0 t 1

on a

péché ϵ 0 t ϵ 0 t

. Maintenant, vous devez ajouter une règle pour contourner le pôle à

t = 0

et cela se fait de manière standard en ajoutant un

je ϵ

au dénominateur donnant

D ( ϵ ) = 1 ω + t 2 π je e i ϵ t 1 t + i ϵ .

( ϵ