Quelle est la signification physique de l’anti-commutateur en mécanique quantique?

khalid

Quelle est la signification physique de l’anti-commutateur en mécanique quantique?


J’ai acquis beaucoup d’intuition physique sur les commutateurs en lisant ce sujet. Quelle est la signification physique des commutateurs en mécanique quantique?

J’ai des questions similaires sur les anti-commutateurs. Qu’est-ce que cela signifie physiquement lorsque deux opérateurs anti-navettage?

Réponses


 Nikos M.

Désolé mais l’analyse de ce que signifient les commutateurs (dans le lien donné) bien que très bonne, ne fournit pas d’intuition et ne se généralise pas aux anti-commutateurs.

Les commutateurs utilisés pour les particules de Bose font que l’équation de Klein-Gordon a une énergie limitée (une condition physique nécessaire, ce que les anti-commutateurs ne font pas).

D’autre part, les anti-commutateurs font que l’équation de Dirac (pour les fermions) a une énergie limitée (contrairement aux commutateurs), voir le théorème de connexion des statistiques de spin .

En ce sens, les anti-commutateurs sont l’analogue exact des commutateurs pour les fermions (mais que signifient réellement les commutateurs?). question agréable et difficile à répondre intuitivement.

Dans un sens, les commutateurs (entre les observables) mesurent la corrélation des observables. C’est donc aussi une mesure (loin) de la diagonalisation simultanée de ces observables.

J’élabore un peu à ce sujet.

Disons que nous avons un état

ψ

et deux observables (opérateurs)

UNE

,

B

. Lorsque ces opérateurs sont simultanément diagonalisés dans une représentation donnée, ils agissent sur l’état

ψ

juste par une simple multiplication par un nombre réel (nombre C) (soit

une

, ou

b

), une valeur propre de chaque opérateur (ie

UNE ψ = une ψ

,

B ψ = b ψ

).

Nous savons que pour des nombres réels

une , b

cela tient

une b b une = 0

Identité (ou sous forme d’opérateur

( UNE B B UNE ) ψ = 0

ou

[ UNE , B ] ψ = 0

) donc l’expression

UNE B B UNE = [ UNE , B ]

(le commutateur ) devient une mesure éloignée de la diagonalisation simultanée (lorsque les observables commutent, le commutateur est identique à zéro et non nul dans tous les autres cas ).

Une autre façon de voir l’expression du commutateur (qui est liée au paragraphe précédent) consiste à prendre un chemin (infinitésimal) à partir du point (état)

ψ

pointer

UNE ψ

puis de pointer

B UNE ψ

puis le chemin de

ψ

à

B ψ

à

UNE B ψ

. Si les opérateurs font la navette (sont diagonalisables simultanément), les deux trajets doivent atterrir sur le même état final (point). Sinon, leur différence est une mesure de corrélation (mesure de la diagonalisation simultanée).

Quand on parle de fermions (principe d’exclusion pauli, variables grassman

θ 1 θ 2 = θ 2 θ 1

), les commutateurs doivent être ajustés en conséquence (changer le signe moins), deviennent ainsi des anti-commutateurs (afin de mesurer la même quantité).

Poursuivant la réflexion précédente, l’expression utilisée était basée sur le fait que pour les nombres réels (et donc pour les opérateurs de bosons) l’expression

une b b une

est (à l’identique) zéro.

Cependant, les variables fermions (Grassman) ont une autre algèbre (

θ 1 θ 2 = θ 2 θ 1 θ 1 θ 2 + θ 2 θ 1 = 0

, identique ).

Alors, quelle était une relation zéro identique pour les opérateurs de bosons (

une b b une

) doit être ajusté pour les opérateurs de fermions à la relation zéro identique

θ 1 θ 2 + θ 2 θ 1

, deviennent ainsi un anti-collecteur .

Les observables non corrélés (bosons ou fermions) commute (ou respectivement anti-commute) sont donc indépendants et peuvent être mesurés (diagonalisés) simultanément avec une précision arbitraire. Sinon, les observables sont corrélés, donc l’acte de fixer l’un observable, modifie l’autre observable rendant impossible la mesure / manipulation simultanée (arbitraire) des deux.

PS. Voyez comment l’analyse précédente peut être généralisée à une autre algèbre arbitraire (basée sur des relations identiques à zéro), au cas où à l’avenir un autre type de particule ayant une autre algèbre pour ses valeurs propres apparaîtrait.

Valter Moretti

Je n’ai pas bien compris la dernière partie de votre analyse. Voulez-vous dire que les opérateurs de Fermion qui anticommutent peuvent être mesurés simultanément? (Je ne le pense pas) Puisque c’est évidemment faux. Plus fortement, les opérateurs de champ de Fermi ne sont pas observables car ils violent la causalité. Vous ne pouvez pas mesurer directement le champ Fermi. Ce que vous pouvez mesurer, ce sont les courants de boson associés aux champs de Fermi, je veux dire quelque chose comme

Nikos M.

@ValterMoretti, bien sûr que vous avez raison. Permettez-moi de reformuler un peu. Pour les quantités invariantes de Lorentz des champs de fermions (qui sont construits à partir de paires de champs de fermions), l’analogie énoncée dans la dernière partie tient au champ fermionique )

 

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