Quelle est l’énergie d’un paquet d’ondes gaussiennes?

Fête de la colonne vertébrale

Quelle est l’énergie d’un paquet d’ondes gaussiennes?


Supposons que nous ayons une situation de barrière potentielle, c’est-à-dire

V ( X )

est nul partout sauf sur l’intervalle

[ une , une ]

, où il est égal à certains

V 0 > 0

. Introduisez un paquet de vagues de forme gaussienne à gauche de la barrière, en vous déplaçant vers la droite.

Quelle est l’énergie du paquet (c’est-à-dire du système décrit par cette fonction d’onde) à chaque instant du temps?

Eh bien, la fonction d’onde

ψ ( X , t )

n’est pas un état propre de l’énergie, donc la question se pose sur la valeur attendue de l’énergie, je suppose. Est-ce que cela signifie simplement effectuer le calcul

⟨E ( t ) = X   ⟨Ψ t | x⟩ ⟨x | H ψ t ?

E ( t ) = X ψ t | X X | H ψ t ?

Sofia

Cela semble correct.

Nemis L.

Notez que

Nemis L.

La valeur attendue de l’énergie cinétique doit être simple et intuitive. La valeur attendue de

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De la façon dont j’imaginais cela, c’est encore plus ou moins un gaussien jusqu’à ce qu’il entre en collision avec la barrière, puis des trucs bizarres se produisent pendant un certain temps, puis ses deux presque gaussiens voyageant en sens inverse.

Nemis L.

Oui, c’est correct. Ce ne sont pas des gaussiens parfaits, pour autant que je sache.

Réponses


 lionelbrits

Comme l’a souligné Nemis L., la valeur attendue

H

est constante, en raison du théorème d’Ehrenfest:

t ⟨H = 1 je [ H , H ] = 0.

t H = 1 je [ H , H ] = 0.

L’autre façon de voir cela est que l’état peut être écrit comme une superposition d’états propres d’énergie orthogonale.

Image obligatoire: Diffusion d'un paquet d'ondes hors d'une barrière de potentiel carrée

Goldberg, Schey et Schwartz, Images cinématographiques générées par ordinateur de phénomènes de transmission et de réflexion mécaniques quantiques à une dimension « , Am. J. Phys., 35, 177 (1967).)

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Mais chaque état peut être écrit comme une superposition des états propres d’énergie orthogonale (via la transformée de Fourier), non?

lionelbrits

Oui. Ce n’est qu’un reflet de la conservation de l’énergie, pas quelque chose de particulier aux états gaussiens.

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Je me demande, comment la dissipation d’énergie pourrait-elle être introduite ici? Est-ce la même chose que la dispersion , le mot que j’entends tout le temps en relation de dispersion ?

lionelbrits

La dispersion fait référence à des moments différents se déplaçant à différentes vitesses, de sorte que le paquet d’ondes se propage. Afin de modéliser la dissipation d’énergie, vous devez modéliser la barrière potentielle comme ayant sa propre dynamique, qui peut absorber l’énergie. Un exemple est le modèle Caldeira-Leggett .

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Merci beaucoup! Je me suis toujours demandé comment la conservation de l’énergie était rompue, mathématiquement!

 

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