Quelles masses relatives sont nécessaires pour qu’ils entrent en collision n fois dans ce scénario?

Apoapsis

Quelles masses relatives sont nécessaires pour qu’ils entrent en collision n fois dans ce scénario?


Considérons deux masses, m et M, où M> m. Ils commencent au repos sur une surface infinie sans frottement qui est plate dans un sens et inclinée dans l’autre sens. La masse m est placée un peu en haut de la pente de sorte qu’elle glisse vers le bas et entre parfaitement en collision avec la masse stationnaire M. Après la collision, la masse m remonte la pente et redescend, tandis que la masse M se déplace le long de la pente infinie.
Diagramme

Si M est beaucoup plus massif que m, il se déplacera à peine après la collision, tandis que m remontera presque tout le long de la pente et descendra avec suffisamment de vitesse pour rattraper M et entrer en collision avec elle à nouveau (Imaginez un ping- balle de pong et un camion monstre). Cependant, si M n’est que légèrement plus massif que m, M s’éloignera avec une vitesse significative, tandis que m remontera à peine la pente et redescendra avec une vitesse insuffisante pour entrer de nouveau en collision avec M.

Pour la première collision, j’ai calculé que le point de basculement où m et M passent de la collision à nouveau à la non collision à nouveau pour être 3M: en utilisant la convention que

vn

est la vitesse de m après

n

collisions et

Vn

est la vitesse de M après

n

collisions, et étant donné que

V0=0,

v1=mMm+Mv0,   V1=2mm+Mv0

Cependant, après avoir de nouveau monté et descendu la rampe, la vitesse de m est inversée:

v1=v1=MmM+mv0

Les masses se heurteront à nouveau si

v1>V1

MmM+mv0>2mM+mv0

Mm>2m,    M>3m

Cependant, je ne peux pas généraliser cela pour

n

collisions. Étant donné que l’algèbre peut devenir désordonnée pour les collisions élastiques où les deux masses ont une vitesse initiale, j’ajuste le cadre de référence après chaque collision de sorte que M soit stationnaire.

V1=0,   v1=MmM+mv02mM+mv0=M3mM+mv0

A partir de ce point, les masses entrent en collision à nouveau si

M3mM+mv0>0

, qui peut être facilement évalué. Cependant, lorsque l’on effectue cela pour la deuxième, troisième, quatrième, etc. collision, le modèle émerge:

vn=(M3mM+m)nv0

, qui est> 0 pour la même condition, M> 3m. Cela conduit à une conclusion peu intuitive: si

M3m

, les masses n’entrent en collision qu’une seule fois. Si

M>3m

, les masses entrent en collision infiniment de fois. Ce résultat semble tout comme il ne peut pas peut – être correct. Y a-t-il une meilleure façon d’évaluer cette situation pour le cas de n collisions qui peuvent donner une meilleure réponse?

J’ai pensé que la vitesse du repère peut dépasser la vitesse de m après un certain nombre de collisions, de sorte que m ne revient jamais sur la pente. Cependant, je ne trouve pas de moyen d’évaluer cela.

Kyle Kanos

Je ne vois pas comment il pourrait y avoir une collision répétée, étant donné la nature infinie sans frottement de l’avion et la collision parfaitement élastique.

Sofia

@KyleKanos pourquoi Kyle, quel est le problème? Oui, après la 1ère collision l’objet plus léger monte sur le plan incliné jusqu’à ce que son énergie cinétique se transforme en potentiel. Donc je comprends.

Réponses


 Kieran Hunt

Commencez par noter les vitesses (

v

et

V

) des deux blocs (masse

m

et

M

) après une collision, en notant la sténographie

δ=Mm

et

μ=M+m

:

vaprès=δμvavant+2m2μVaprèsVaprès=2m1μvavant+δμVaprès

Plusieurs choses à noter maintenant: premièrement, pour qu’une solution existe, nous avons besoin de

m<M

, ou le bloc au bas de la pente sera expulsé trop rapidement et ne sera plus jamais rattrapé; deuxièmement, parce que le système est sans friction et élastique, le bloc

m

reviendra pour les collisions suivantes avec exactement

vaprès

; et troisièmement, nous pouvons abandonner l’utilisation de

μ

parce que le système est indépendant de l’échelle (et comme nous le verrons, nous utilisons des ratios dans lesquels cela disparaîtrait de toute façon).

Maintenant, je vais désigner les vitesses immédiatement après la collision

n

par

Vn

et

vn

respectivement (avec

V0=0

comme le plus gros bloc commence au repos).

Donc, nous pouvons écrire ceci sous forme de matrice:

[vnVn]=[δ 2m2 2m1δ]n[v0V0]

Pour résoudre ce problème, nous devrons diagonaliser la matrice centrale, qui se révèle être:

UNE=SJS1=12[ jem2m1 jem1m2 11][α+ 0 0α][ jem1m2 1 jem1m21]

où la sténographie

α±=δ±2je4m1m2

. Lors de l’expansion, cela nous donne une forme utile pour

UNEn

:

12[(α+n+αn)jem2m1(α+nαn)jem1m2(α+nαn)(α+n+αn)]

Puis résoudre pour

n

, on note que la valeur de

vn/Vn

doit être

1

ou moins. Donc, en rassemblant tout cela et en notant que

V0=0

, nous devons résoudre:

1=jem2m1α+n+αnα+nαn

et donc:

n=Journal(1+jem1m2)Journal(1jem1m2)Journal(α+)Journal(α)


qui, malgré les composants imaginaires, donne de vraies réponses!


 Holographe

Comme vous le décrivez, laissez

vn

et

Vn

être les vitesses des masses

m

et

M

juste avant le

(n+1)

e collision (donc les deux se déplacent vers la droite).

V0

= 0.

Dans chaque collision, vous avez deux lois de conservation que vous pouvez utiliser: l’énergie et l’élan. En faisant attention aux directions, vous obtenez

mvn+MVn=mvn+1+MVn+112mvn2+12MVn2=12mvn+12+12MVn+12


Maintenant, résolvez-les pour

vn+1

et

Vn+1

et vous devriez les obtenir linéairement en termes de

vn

et

Vn

. Vous pouvez résoudre la relation de récurrence (par exemple en daigonalisant la matrice donnant la relation linéaire) pour obtenir

vn

et

Vn

et découvrez combien d’impacts il en résultera.

Maintenant, prenez

M=dix2km

, et notez que pour

k=0,1,2,3,4,,dix,

vous obtenez le nombre d’impacts étant

3,31,314,3141,31415,,31415926535,

Enfin, construisez une pente très lisse et calculez

π

en utilisant une balle de ping-pong et un camion monstre de masses appropriées.

[Voir le billard de Galperin]

 

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