Relation entre Canonical et Grand Canonical Ensemble pour un système à deux niveaux

IlBaroneRampante

Relation entre Canonical et Grand Canonical Ensemble pour un système à deux niveaux


Pour un système à deux niveaux de particules classiques non interactives et distinctes, étiqueter les niveaux d’énergie comme

+ ϵ , ϵ

, dans l’ensemble canonique que j’ai trouvé pour la fonction de partition Q

= 2 matraque ( β ϵ )

et donc l’énergie libre de Gibbs

UNE = k T N ln ( 2 matraque ( β ϵ ) )

,

S = ( UNE T ) N , V

et

μ = ( UNE N ) V , T

donc la fugacité

z =

Q

1

Mais dans le grand cadre canonique, j’ai

Q = N = 0 ( z

Q

) N

que je peux résumer si

z

Q

< 1

. Après avoir introduit le

q

potentiel j’ai utilisé l’expression pour l’entropie dans le formalisme GC en obtenant:

S G C = ϵ T 2 z sinh ( β ϵ ) 1 2 z matraque ( β ϵ ) k ln ( 1 2 z matraque ( β ϵ ) ) N k ln ( z )

S g C = ϵ T 2 z sinh ( β ϵ ) 1 2 z matraque ( β ϵ ) k ln ( 1 2 z matraque ( β ϵ ) ) N k ln ( z )

comparer avec:

S C = ( UNE T ) N , V = N k ( ln ( 2 cosh ( β ϵ ) ) β tanh ( β ϵ ) )

S C = ( UNE T ) N , V = N k ( ln ( 2 matraque ( β ϵ ) ) β tanh ( β ϵ ) )

De quelle manière puis-je utiliser la limite thermodynamique pour établir l’équivalence entre ces deux expressions?

Réponses


 gatsu

La façon dont cela fonctionne généralement consiste à montrer que les fluctuations relatives de la variable qui devient une variable aléatoire lors du changement d’ensemble (

N

dans ce cas) disparaître pour les grandes tailles de système. Cela montre alors qu’à une seule valeur du potentiel chimique, on peut attribuer en très bonne approximation une seule valeur à la variable aléatoire

N

cela correspond à la grande valeur moyenne canonique.

Pour cela, les relations suivantes sont utiles:

⟨N μ , β = z ( ln Q z ) β ; V a r ( N ) = ⟨N 2 μ , β ⟨N 2 μ , β = z ( ⟨N μ , β z ) β

N μ , β = z ( ln Q z ) β ; V une r ( N ) = N 2 μ , β N μ , β 2 = z ( N μ , β z ) β

Maintenant, si en effet

z Q < 1

(

Q

étant la fonction de partition de particule unique), nous avons

Q = ( 1 Q z ) 1

.

Il s’ensuit que

ln Q = ln ( 1 Q z )

:

⟨N μ , β = z Q