Relation entre connexion et dérivé matériel

user1620696

Relation entre connexion et dérivé matériel


Supposer

R 3

contient un fluide et que

F : × R R

est une fonction dépendante du temps définie sur la région fluide. Dans ce cas, le dérivé matériel est défini par

D t F ( a , t ) = F t ( a , t ) + ( u ) f ( a , t )

t F ( une , t ) = F t ( une , t ) + ( u ) F ( une , t )

u

est l’opérateur défini sur la fonction scalaire

g

par

( u ) g = u ( g ) = D u g .

( u ) g = u ( g ) = u g .

C’est la dérivée directionnelle le long

u

de la fonction

g

. Sur les champs vectoriels, il est défini par composant, c’est-à-dire si

v = ( v 1 , v 2 , v 3 )

puis

( u ) v = ( ( u ) v 1 , ( u ) v 2 , ( u ) v 3 ) = ( D u v 1 , D u v 2 , D u v 3 ) .

( u ) v = ( ( u ) v 1 , ( u ) v 2 , ( u ) v 3 ) = ( u v 1 , u v 2 , u v 3 ) .

Mais cette dernière chose est clairement le dérivé covariant de

v

le long de

u

quand on considère la connexion Levi-Civita sur

R 3

avec le tenseur métrique plat habituel, c’est-à-dire

( u ) v = u v .

( u ) v = u v .

Maintenant, cette conclusion est-elle juste? Pouvons-nous vraiment écrire le dérivé matériel comme

D t v ( a , t ) = v t ( a , t ) + u v ( a , t ) ,

t v ( une , t ) = v t ( une , t ) + u v ( une , t ) ,

et si c’est vrai, y a-t-il une certaine utilité dans cette relation? Je veux dire, je ne connais pas beaucoup de connexions et comment elles peuvent être utilisées en physique, mais je sais qu’elles sont utiles. Dans ce cas, écrire le dérivé matériel en termes de connexion donne un avantage? Serait-il logique que

était une autre connexion autre que la connexion Levi-Civita?

Kyle Kanos

Avez-vous regardé les équations de Navier-Stokes ? Votre question (sur l’utilité) y est répondue.

user1620696

@KyleKanos, je n’y suis toujours pas arrivé, je commence par la mécanique des fluides, je vais y jeter un œil. Je vous remercie.

Réponses


 Qmechanic

Qu’on lui donne un

n

manifold dimensionnel

( M , )

doté d’une connexion

. [En particulier, nous ne supposons pas que le collecteur

M

est équipé d’un tenseur métrique.] Soit une courbe

γ : R M

. Ici, le lecteur devrait penser à

R

et

M

comme le temps et l’espace, respectivement.

  1. Si

    F : M × R R

    est un scalaire dépendant du temps sur

    M

    , le matériau / dérivé total est

    t F = t F + γ ˙ je je F . (1)

    (1) t F = t F + γ ˙ je je F .

    En particulier, le matériau / dérivé total

    t F

    d’un scalaire

    F

    est indépendant de la connexion

    .

  2. Si

    V

    est un champ vectoriel dépendant du temps sur

    M

    , le matériau / dérivé total est

    t V = t V + γ ˙ je je V . (2)

    (2) t V = t V + γ ˙ je je V .

 

#et, connexion, dérive, entre, matériel, relation

 

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