Représentations unitaires de SO (3) SO (3) et so (3) so (3)

Crayon rouge

Représentations unitaires de SO (3) SO (3) et so (3) so (3)


Selon mon skript:

La mécanique quantique déclare

ψH

changements sous une rotation

RSỐ 3),XRX

selon

ψU(R)ψ

, tandis que

U(R)

est une représentation unitaire de

SỐ 3)

est, cela signifie:

U:SỐ 3)L(H)={transformation linéaire HH}=GL(H,H)

RU(R)


est un homomorphisme, c’est-à-dire

U(R1)U(R2)=U(R1R2),U(1)=je

qui est unitaire

U(R)1=U(R)

.

Les rotations infinitésimales sont des éléments

Ω

de l’espace tangent

TjeSO(3)={γ˙(0)|γ:[ε,ε]SỐ 3),γ(0)=je}

, où

γ(ε)=eεΩSỐ 3),γ(0)=e0Ω=je

, sur

SỐ 3)

au point

je

:

Ω=tR(t)|t=0,


alors que

tR(t)

est une courbe différenciable dans

SỐ 3)

à travers

R(0)=je

.

Chaque représentation du groupe de Lie de

SỐ 3)

sur

H

correspond à une représentation d’algèbre de Lie de

số 3)

(mais pas l’inverse):

U(Ω): =tU(R(t))|t=0.

La transformation

ΩU(Ω)

est un homomorphisme de

số 3)

(α1,α2)

:

U(α1Ω1+α2Ω2)=α1U(Ω1)+α2U(Ω2)

U([Ω1,Ω2])=[U(Ω1),U(Ω2)],


alors que le dernier découle de

U(RΩR1)=U(R)U(Ω)U(R)1(RSỐ 3)).


Je veux vérifier la dernière déclaration, c’est-à-dire que

ΩU(Ω)

est un homomorphisme.
Questions de calcul:

1) Si je considère simplement

α1U(Ω1)

, est-il alors exact de dire:

α1U(Ω1)=α1U(tR1(t)|t=0)

α1U(Ω1)=α1tU(R1(t))|t=0,


en branchant simplement les définitions?


2) Si tel est le cas, puis-je conclure:

U(α1Ω1+α2Ω2)=U(t(R1(α1t)R2(α2t))|t=0)=tU(R1(α1t)R2(α2t))|t=0=t(U(R1(α1t))U(R2(α2t)))|t=0=α1Ω1+α2Ω2.


3) Je pose cette question, parce que quelqu’un d’autre a écrit que:

U(Ω1+αΩ2): =tU(R1(t)R2(αt)|t=0.


4) Donc, en général, je suis un peu confus au sujet de la notation, peut-être pourrait-on clarifier un peu cela.


Questions et remarques générales:

Je ne comprends toujours pas le concept principal derrière les représentations.


Permettez-moi de placer quelques mots dans cette salle:
mécanique quantique ; La règle de Born; Symétries; Représentations projectives; Théorème de Wigner; Représentations irréductibles; États propres; Systèmes composites et coefficients Clebsch-Gordan; Wigner-Eckart-Theorem.

Ce serait formidable si l’on pouvait me montrer son idée en quelques lignes en utilisant les mots donnés ci-dessus.
J’essaierai moi-même plus tard (jusqu’à présent, je n’ai qu’une version longue dans une autre langue que je pourrai poster plus tard). Merci d’avance! 🙂

CuriousOne

Une représentation est simplement un ensemble de transformations linéaires sur un espace vectoriel. Habituellement, ils sont exprimés sous forme de matrices, la multiplication matricielle ordinaire étant l’opération de groupe. Ce n’est pas du tout lié à QM. Vous pouvez les utiliser aussi bien en mécanique classique qu’en infographie. Cela est généralement très bien expliqué dans les livres sur la théorie des groupes, y compris les résultats sur la représentation irréductible (matrices qui ne peuvent pas être factorisées en sous-matrices plus petites).

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

L’idée clé pour les groupes ici est l’homomorphisme, de sorte que les transformations effectuées par exemple sur l’ espace-temps composent de la même manière que les transformations correspondantes qui se produisent par exemple sur l’espace d’état quantique. En effet, le théorème de Wigner dit que les homomorphismes projectifs sont autorisés. Voyez si vous avez de la joie avec ma réponse ici . J’aurai peut-être le temps de répondre à vos questions détaillées plus tard.

Réponses


 Phoenix87

La réponse est oui à toutes vos questions. En général, on suppose que la représentation est fortement continue (c’est-à-dire continue dans la topologie de l’opérateur fort), donc les expressions ont un sens lorsqu’elles sont évaluées par rapport à un vecteur de l’espace de Hilbert. L’existence de la « dérivée » d’un sous-groupe à 1 paramètre comme

U(R1(t))

est donné par le théorème de Stone qui dit qu’il existe un opérateur auto-adjoint

H1

tel que

U(R1(t))=ejeH1t

(par calcul fonctionnel) et

H1

est précisément la « dérivée » de

U(R1(t))

à

t=0

.

Crayon rouge

À votre santé! Pourriez-vous m’expliquer davantage ce fait: chaque représentation unitaire de

Phoenix87

Je pense que cela est lié au fait que toutes les représentations d’une algèbre de Lie ne peuvent pas être intégrées à une représentation du groupe de Lie

Crayon rouge

Peut-être que cela va dans ce sens: si l’on considère

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

@RedPencil Cela ne fonctionne pas dans l’autre sens parce que

 

#de, #et, 3, représentations, SO, unitaires

 

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